MMATH
התחברות

וידאו · סדרות

ב12. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%
35 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב8. סדרה הנדסית פתרון תרגיל בעייה מציאותית

וידאו

ב9. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב10. סדרה הנדסית סכום סדרה

וידאו

ב11. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב12. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב13. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל הוכחת סדרה הנדסית בעזרת סכום

וידאו

ב14. סדרה הנדסית סכום סדרה פתרון תרגיל

וידאו

ב15. סדרה הנדסית מתכנסת

וידאו

ב16. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב17. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב18. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

וידאו

ב19. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב20. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב21. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בפתירת תרגיל בסדרה הנדסית שבו ידועים האיבר הראשון, האיבר האחרון וסכום חלק מהאיברים, ומטרתו היא למצוא את מנת הסדרה (Q) ואת מספר האיברים (N).
  • להבין את נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית
  • להשתמש בנוסחאות סכום סדרה הנדסית חלקית
  • לפתור משוואות עם שני נעלמים בסדרה הנדסית
  • להשתמש בלוגריתמים למציאת מספר האיברים בסדרה
  • נתוני בסיס והגדרת הבעיה: ניתנים האיבר הראשון (A1=3), האיבר האחרון (AN=384) וסכום חלקי מהאיברים בסדרה ההנדסית (סכום מ-A2 עד AN מינוס 1 שווה 378).
  • פיתוח משוואות: ננסח ונגדיר את המשוואות להכרת המשתנים הנעלמים Q ו-N. נשתמש בנוסחה AN=A1*Q^(N-1) ובעובדה על סכום חלק מהאיברים להתקדם לפתרון.
  • פתרון המשוואות: באמצעות החלפות ושימוש בלוגריתמים מצליחים לבודד את Q ו-N, תוך כדי שימת לב לסבלנות בתהליכים ולמיחזור מונחים שבהם מופיעים חזקות של Q.

תרגול קצר

מציאת מנת סדרה מהנתונים

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה הנדסית שבה האיבר הראשון הוא 3, האיבר האחרון הוא 384, וסכום האיברים מ-A2 עד AN מינוס 1 שווה 378. מצא את מנת הסדרה (Q) ומספר האיברים (N).

סדרה הנדסיתפיתרון משוואותלולאות

רמז: השתמש בנוסחת האיבר הכללי ובנוסחת סכום החלקי של הסדרה. נסה להחליף ביטויים עם חזקות Q כדי להקל על הפתרון.

פתרון מלא

תשובה סופית: Q=2, N=8

1. נציב את הנתונים בנוסחה AN=A1*Q^(N-1): 384=3*Q^(N-1), נקבל Q^(N-1)=128. 2. נכתוב את ביטוי סכום האיברים מ-A2 עד AN-1 ונשתמש בנוסחאות סכום יסודיות. 3. נחליף ביטויים עם חזקות Q^(N-1) כדי להשיג משוואה אחת בלבד ב-Q. 4. נפתור את המשוואה הריבועית ונמצא Q=2. 5. נציב בחזרה ונחשב N=8 על ידי לוגריתם בסיס 2 של 128 ועוד 1.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית

מציאת מנת הסדרה ומספר האיברים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא Q - מנת הסדרה / N - מספר האיברים בסדרה

  2. נתון 1

    נתון 1

    A1 = 3
  3. נתון 2

    נתון 2

    AN = 384
  4. נתון 3

    נתון 3

    סכום מ-A2 עד AN-1 = 378
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש בנוסחת האיבר הכללי ובנוסחת סכום החלקי כדי ליצור שתי משוואות, נחליף ביטויים ונבודד משתנים

  6. נוסחה

    נציב את Q במשוואה הראשונה ונשתמש בלוגריתם בסיס Q לחישוב N.

    N = log_Q (128) + 1N = _Q 128 + 1
  7. משוואה

    בטא את סכום האיברים מ-A2 עד AN-1 בנוסחה של סכום סדרה הנדסית חלקית.

    בטא את סכום האיברים מ-A2 עד AN-1 בנוסחה של סכום סדרה הנדסית חלקית.

  8. פישוט

    עשה חילוק והעברות אגפים כדי לקבל משוואה ריבועית ב-Q ופתור.

    עשה חילוק והעברות אגפים כדי לקבל משוואה ריבועית ב-Q ופתור.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

קבע את הנתונים הראשוניים

מה עושים

רשום את הערכים הנתונים A1, AN, וסכום האיברים.

למה

מגלה מידע בסיסי לבניית המשוואות.

A1=3, AN=384, סכום חלקי=378

שמור על ההבדלה בין הסכום הכולל לסכום החלקי.

2

בחירת שיטה

השתמש בנוסחת האיבר הכללי

מה עושים

כתוב את המשוואה 384=3*Q^(N-1).

למה

כדי לבטא את הקשר בין AN, A1, Q ו-N.

נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית.

נוסחה / הצבה

AN = A1 * Q^(N-1)A_n = A_1 x Q^(n-1)

הקשב לשימוש בחזקות.

3

בחירת שיטה

כתוב ביטוי לסכום החלקי

מה עושים

בטא את סכום האיברים מ-A2 עד AN-1 בנוסחה של סכום סדרה הנדסית חלקית.

למה

מכיוון שסכום זה נתון ויכול לעזור בבניית המשוואות.

שימוש בנוסחת הסכום של סדרה הנדסית לחלק מהאיברים.

קח בחשבון שהאיברים הם מ-A2 ועד AN מינוס 1.

4

בניית משוואה

החלף ביטויים עם חזקות Q

מה עושים

החלף Q^(N-1) ב-128 לפי המשוואה הראשונה כדי לפשט ביטויים.

למה

נקבל משוואות פשוטות יותר לפתרון.

Q^(N-1) = 128 ולכן ביטויים כמו Q^(N-2) = 128/Q וכו'.

זכור להחליף בזהירות כדי לא לטעות בחזקות.

5

פתרון

פתור משוואה עם שני נעלמים

מה עושים

עשה חילוק והעברות אגפים כדי לקבל משוואה ריבועית ב-Q ופתור.

למה

כדי למצוא את ערך המנה Q.

הגע למשוואה שתיתן פתרון ראלי ל-Q.

שימוש ביכולת אלגברית ופתרון משוואות ריבועיות.

6

פתרון

חשב את N באמצעות לוגריתמים

מה עושים

נציב את Q במשוואה הראשונה ונשתמש בלוגריתם בסיס Q לחישוב N.

למה

כדי למצוא את מספר האיברים בסדרה.

N = לוגריתם בסיס Q של 128 ועוד 1 = 8.

נוסחה / הצבה

N = log_Q (128) + 1N = _Q 128 + 1

בדוק את התוצאה בעזרת ערכי אמת.

פתרונות כלליים

  • מציאת מנת סדרה מהנתונים: 1. נציב את הנתונים בנוסחה AN=A1*Q^(N-1): 384=3*Q^(N-1), נקבל Q^(N-1)=128. 2. נכתוב את ביטוי סכום האיברים מ-A2 עד AN-1 ונשתמש בנוסחאות סכום יסודיות. 3. נחליף ביטויים עם חזקות Q^(N-1) כדי להשיג משוואה אחת בלבד ב-Q. 4. נפתור את המשוואה הריבועית ונמצא Q=2. 5. נציב בחזרה ונחשב N=8 על ידי לוגריתם בסיס 2 של 128 ועוד 1.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.