שיעור זה עוסק בנוסחת אמצע הקטע, מציאת קצה שני בנקודות על ישר, משוואות ישרים, מציאת שיפוע ישר מאונך, חיתוכים עם צירים וחישוב שטח משולש.
להבין ולהשתמש בנוסחת אמצע הקטע.
לפתור משוואות למציאת נקודה חסרה.
להכיר ולחשב שיפוע ישר מאונך לישר נתון.
למצוא את משוואת הישר הנתון נקודה ושיפוע.
לחשב חיתוך ישר עם צירי x ו-y.
לחישוב שטח משולש באמצעות בסיס וגובה.
נוסחת אמצע הקטע: הצגת נוסחה למציאת אמצע הקטע בין שתי נקודות במישור האנליטי.
פתרון בעיה – מציאת קצה חסר: כאשר נותנים נקודה אחת ואמצע, ניתן למצוא את הקצה השני בשתי דרכים: משוואות או דרך אינטואיטיבית.
ישר, שיפועים וחיתוכים: נזכרים במשוואת ישר y=mx+c, שיפוע, חיתוך עם ציר Y ומציאת נקודת חיתוך עם ציר X.

תרגול קצר

מציאת אמצע קטע בין נקודות

רמת קושי: קל

ממתין

נתונות הנקודות A(3,4) ו-B(-5,6). מצא את נקודת האמצע ביניהן.

אמצע הקטענקודותשברים

רמז: השתמש בנוסחת אמצע הקטע: הממוצע של הקואורדינטות.

פתרון מלא

תשובה סופית: (-1,5)

X_middle = (3 + (-5)) / 2 = (-2)/2 = -1 Y_middle = (4 + 6) / 2 = 10/2 = 5 אז נקודת האמצע היא (-1,5).

מציאת קצה חסר כאשר נתונה נקודה ואמצע

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה נקודה אחת A(4,-2) ונקודת אמצע M(2,3). מצא את הקצה השני B.

משוואותנקודותאמצעחישובים

רמז: השתמש בנוסחת האמצע והצב משוואות עבור X ו-Y כדי למצוא את הקצה החסר.

פתרון מלא

תשובה סופית: (0,8)

נוסחת אמצע בקואורדינט X: 2 = (4 + xB)/2 → 4 = 4 + xB → xB = 0 בנוסף, Y: 3 = (-2 + yB)/2 → 6 = -2 + yB → yB = 8 אז הקצה השני הוא B(0,8).

משוואת ישר מאונך בנקודה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה משוואת הישר y = 2x + 4. מצא את משוואת הישר שעובר דרך נקודת החיתוך שלו עם ציר Y ומאונך לו.

משוואת ישרשיפועישר מאונך

רמז: מצא את נקודת החיתוך עם ציר Y ואז חשב את השיפוע המופכי והנגדי, והציב בנוסחה y - y1 = m(x - x1).

פתרון מלא

תשובה סופית: y = -1/2 x + 4

נקודת החיתוך עם ציר Y היא (0,4). השיפוע של הישר הוא 2, לכן שיפוע הישר המאונך הוא -1/2. נשתמש בנוסחה y - 4 = -1/2 (x - 0) מכפילים ומסדרים: y = -1/2 x + 4

חישוב שטח משולש בין נקודות

רמת קושי: בגרות

ממתין

ניתן משולש עם בסיס לאורך ציר ה-X בין הנקודות (−2,0) ו-(8,0), וגובה 4. חשב את שטח המשולש.

שטח משולשבסיס וגובה

רמז: שטח משולש = בסיס כפול גובה חלקי 2.

פתרון מלא

תשובה סופית: 20

אורך הבסיס = 8 - (−2) = 10 גובה = 4 שטח = (10 * 4) / 2 = 20

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת קצה חסר כשנתונה נקודה ואמצע

פתרון בעזרת משוואות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודה B (x,y)
נתון 1
נקודה A (4,-2)
נתון 2
נקודת האמצע M (2,3)
רעיון
הרעיון המרכזי
להשתמש בנוסחת אמצע הקטע ולבנות משוואות עבור X ו-Y כדי למצוא את נקודת הקצה החסרה.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
נציב את הערכים הידועים במשוואות כדי לקבל משוואות עם משתנים X_B,Y_B בלבד.
נציב את הערכים הידועים במשוואות כדי לקבל משוואות עם משתנים X_B,Y_B בלבד.
פישוט
נכפיל כל משוואה ב-2 כדי לפשט ולהיפטר מהמכנה.
נכפיל כל משוואה ב-2 כדי לפשט ולהיפטר מהמכנה.
תוצאה
מסיימים בתשובה
רישום נקודת הקצה B כנקודה חדשה.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת הנתונים

מה עושים

רשום את הקואורדינטות של A ו-M.

למה

חשוב לדעת מה הנתונים הידועים כדי להיכנס לחישוב.

A(4,-2), M(2,3)

בחירת שיטה

כתיבת המשוואות

מה עושים

השתמש בנוסחה X_m = (X_A + X_B)/2, Y_m = (Y_A + Y_B)/2.

למה

הנוסחה תאפשר לנו להביע את X_B ו-Y_B במשוואות.

עבור כל ציר כותבים משוואה נפרדת עם המשתנים הלא ידועים X_B ו-Y_B.

נוסחה / הצבה

X_middle = (X_A + X_B) / 2Y_middle = (Y_A + Y_B) / 2X_m = (X_A + X_B)/2Y_m = (Y_A + Y_B)/2X_m=(X_A+X_B)/(2)

שני משוואות שונות - אחת ל-X ואחת ל-Y.

בניית משוואה

הצבת הנתונים במשוואות

מה עושים

נציב את הערכים הידועים במשוואות כדי לקבל משוואות עם משתנים X_B,Y_B בלבד.

למה

כעת יש לנו שתי משוואות פשוטות לפתרון.

2 = (4 + X_B) / 2, 3 = (-2 + Y_B) / 2

פתרון

פישוט המשוואות

מה עושים

נכפיל כל משוואה ב-2 כדי לפשט ולהיפטר מהמכנה.

למה

כפל מנקה את המכנים ומקל על הפתרון.

4 = 4 + X_B, 6 = -2 + Y_B

פתרון

פתרון המשוואות

מה עושים

נעביר אגפים ונמצא את הערכים של X_B ו-Y_B.

למה

זה השלב שבו מבצעים את החישוב וחושפים את הנקודה המבוקשת.

X_B = 0, Y_B = 8

תשובה

התשובה הסופית

מה עושים

רישום נקודת הקצה B כנקודה חדשה.

למה

כדי לסיים את הפתרון בצורה ברורה.

נקודת הקצה היא B(0,8)

פתרונות כלליים

מציאת אמצע קטע בין נקודות: X_middle = (3 + (-5)) / 2 = (-2)/2 = -1 Y_middle = (4 + 6) / 2 = 10/2 = 5 אז נקודת האמצע היא (-1,5).
מציאת קצה חסר כאשר נתונה נקודה ואמצע: נוסחת אמצע בקואורדינט X: 2 = (4 + xB)/2 → 4 = 4 + xB → xB = 0 בנוסף, Y: 3 = (-2 + yB)/2 → 6 = -2 + yB → yB = 8 אז הקצה השני הוא B(0,8).
משוואת ישר מאונך בנקודה: נקודת החיתוך עם ציר Y היא (0,4). השיפוע של הישר הוא 2, לכן שיפוע הישר המאונך הוא -1/2. נשתמש בנוסחה y - 4 = -1/2 (x - 0) מכפילים ומסדרים: y = -1/2 x + 4
חישוב שטח משולש בין נקודות: אורך הבסיס = 8 - (−2) = 10 גובה = 4 שטח = (10 * 4) / 2 = 20

הפריט הקודם הפריט הבא

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

ב1. שאלון 803 - כלי העבודה בהנדסה אנליטית - ארז כהן

ניווט לפי נושאים

אנליטית, נגזרות, אינטגרלים ובעיות קיצון

חזרות ופתרון בחינות

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מציאת קצה חסר כשנתונה נקודה ואמצע

מפת פתרון

למצוא נקודה B (x,y)

נקודה A (4,-2)

נקודת האמצע M (2,3)

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

נציב את הערכים הידועים במשוואות כדי לקבל משוואות עם משתנים X_B,Y_B בלבד.

נכפיל כל משוואה ב-2 כדי לפשט ולהיפטר מהמכנה.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הבנת הנתונים

כתיבת המשוואות

הצבת הנתונים במשוואות

פישוט המשוואות

פתרון המשוואות

התשובה הסופית

פתרונות כלליים