בשיעור זה לומדים כיצד לחקור פונקציה מעריכית בתחום מסוים עבור גרף הנגזרת, להבין את שפת הנגזרת והשפעתה על התנהגות הפונקציה.
להבין איך לצייר גרף נגזרת בתחום מוגבל
לזהות מתי הנגזרת חיובית או שלילית בתחום
לפרש שפת נגזרת להשגת מסקנות על פונקציה
ליישם את ניתוח הנגזרת לבניית גרף פונקציה
הגדרת תחום החקירה: התמקדות בתחום x בין 0 לבין ln(3) לציור גרף הנגזרת בלבד.
ניתוח שפת הנגזרת: פירוש סימני הנגזרת כשלילית וחיובית בתחום שנבחר ומעבר בין 0 ל-ln(3).
שימוש בעוגנים לבדיקת תוצאות: בדיקה של ערכי הנגזרת בנקודות מפתח כדי לאשר מגמות ועליות וירידות.

תרגול קצר

גרף הנגזרת בתחום מוגבל

רמת קושי: קל

ממתין

בתחום בין 0 לבין ln(3), צייר את גרף הנגזרת של פונקציה מעריכית והסבר מתי היא שלילית ומתי חיובית.

פונקציה מעריכיתגרף נגזרתתחום מוגבל

רמז: בדוק את סימני הנגזרת בין נקודות הקצה והתבונן בשלבים של שפת הנגזרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: הנגזרת יורדת בתחום 0 עד לנקודה מסוימת, ואחר כך עולה בתחום עד ln(3), עם נקודת מעבר בנקודה בה הנגזרת שווה אפס.

תחילה ממקדים את הציור רק בתחום בין 0 ל-ln(3). בשטח זה, הנגזרת שלילית באזור הקרוב ל-0 ולאחר מכן חיובית כאשר x מתקרב ל-ln(3), עם מעבר בנקודה שבה הנגזרת שווה לאפס. יש להראות זאת בגרף תוך הדגשת השינוי בסימן.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

ציור גרף הנגזרת בתחום x בין 0 ל-ln(3)

הבנת שפת הנגזרת והשפעתה על התנהגות הפונקציה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא לזהות מתי הנגזרת שלילית ומתי חיובית בתחום זה / לצייר את גרף הנגזרת בהתאם
נתון 1
תחום x בין 0 ל-ln(3)
רעיון
הרעיון המרכזי
לנתח את סימני הנגזרת בתחום הנתון ולהבין את השינוי בסימן על מנת לצייר את גרף הנגזרת.
נוסחה
נגדיר את הנגזרת ונבחן את סימניה תחום תחום.
f'(x) פחות מ0 כאשר x בין 0 ל af'(x) יותר מ0 כאשר x בין a ל ln של 3f'(x) < 0 כאשר 0 < x < af'(x) > 0 כאשר a < x < ln(3)f'(x) > 0 כאשר a < x < (3)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
אם רוצים, להציב ערכים כדי לוודא את סימני הנגזרת.
אם רוצים, להציב ערכים כדי לוודא את סימני הנגזרת.
תוצאה
מסיימים בתשובה
צייר את גרף הנגזרת המראה ירידה ואז עליה בתחום 0 עד ln(3).
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם הגדרת את התחום במדויק?
- האם בידקת את סימני הנגזרת בתחום?
- זהירות: בלבול בין תחום החקירה לכלל התחום של הפונקציה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

תחום החקירה מוגדר

מה עושים

ממקדים את הבדיקה בתחומי x מ0 עד ln(3).

למה

חשוב להתמקד בטווח בו ניתנת הבקשה כדי למנוע בלבול.

זיהוי נתונים

הכרת שפת הנגזרת

מה עושים

מזכירים שנגזרת שלילית משמעותה פונקציה יורדת וחיובית פונקציה עולה.

למה

מסייע לפרש ולהבין את גרף הנגזרת.

בחירת שיטה

לזהות שינוי סימנים

מה עושים

מאתרים נקודה בה הנגזרת עוברת ערך 0 בין הסימנים שלילית לחיובית.

למה

מעבר זה הוא נקודת קיצון של הפונקציה.

בניית משוואה

ייצוג הנגזרת

מה עושים

נגדיר את הנגזרת ונבחן את סימניה תחום תחום.

למה

לארגן את המידע בצורה ברורה להתייחסות בגרף.

f'(x) שלילית באזור 0 עד נקודת מעבר, חיובית מייד לאחריה.

נוסחה / הצבה

f'(x) פחות מ0 כאשר x בין 0 ל af'(x) יותר מ0 כאשר x בין a ל ln של 3f'(x) < 0 כאשר 0 < x < af'(x) > 0 כאשר a < x < ln(3)f'(x) > 0 כאשר a < x < (3)

פתרון

בדיקת ערכים נבחרים

מה עושים

אם רוצים, להציב ערכים כדי לוודא את סימני הנגזרת.

למה

כדי לחזק את הביטחון בפרשנות הנכונה של גרף הנגזרת.

בדיקה זו אינה חובה אך מומלצת למי שרוצה לוודא אקספוננציאלית.

תשובה

שרטוט הגרף הסופי

מה עושים

צייר את גרף הנגזרת המראה ירידה ואז עליה בתחום 0 עד ln(3).

למה

ייצוג חזותי של התנהגות הפונקציה בתחום כנדרש.

פתרונות כלליים

גרף הנגזרת בתחום מוגבל: תחילה ממקדים את הציור רק בתחום בין 0 ל-ln(3). בשטח זה, הנגזרת שלילית באזור הקרוב ל-0 ולאחר מכן חיובית כאשר x מתקרב ל-ln(3), עם מעבר בנקודה שבה הנגזרת שווה לאפס. יש להראות זאת בגרף תוך הדגשת השינוי בסימן.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

ניווט לפי נושאים

חקירה מעריכית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא לזהות מתי הנגזרת שלילית ומתי חיובית בתחום זה / לצייר את גרף הנגזרת בהתאם

תחום x בין 0 ל-ln(3)

הרעיון המרכזי

נגדיר את הנגזרת ונבחן את סימניה תחום תחום.

נבנה משוואה

אם רוצים, להציב ערכים כדי לוודא את סימני הנגזרת.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

תחום החקירה מוגדר

הכרת שפת הנגזרת

לזהות שינוי סימנים

ייצוג הנגזרת

בדיקת ערכים נבחרים

שרטוט הגרף הסופי

פתרונות כלליים