בחינה של גזירת פונקציה מעריכית מורכבת, מציאת נקודות קיצון באמצעות חישובים אלגבריים וניתוח סימני הנגזרת לשם קביעת התנהגות הפונקציה.
לשלוט בגזירת פונקציות מעריכיות מורכבות.
להבין כיצד להציב נקודות בחזרה לפונקציה המקורית כדי למצוא ערכים.
לזהות נקודות קיצון באמצעות סימני הנגזרת.
להשתמש בחשבון נגזרות ושיטות אלגבריות לפישוט ביטויים.
לתרגל בדיקה גרפית וסימני חץ לעלייה וירידה בפונקציה.
גזירת פונקציה מעריכית מורכבת: הלימוד נסוב על גזירת פונקציה שהיא שילוב של מעריכים וחזקות, בעזרת כלל המנה ושרשרת.
מציאת נקודות קיצון: ניתוח נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס כדי לזהות מינימום או מקסימום של הפונקציה.

תרגול קצר

גזירת פונקציה מעריכית עם מכפלה ומנה

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה y = (3e^{2x} - 4e^{x}) / (x^2)

גזירהפונקציה מעריכיתכלל המנה

רמז: השתמש בכלל המנה וגזור כל אחד מהמרכיבים בנפרד. זכור לגזור את e^{2x} ו-e^{x} עם כלל השרשרת.

פתרון מלא

תשובה סופית: הנגזרת היא: ((6e^{2x} - 4e^{x})·x^2 - 2x(3e^{2x} - 4e^{x})) / x^4

נשתמש בכלל המנה: נגזור את המונה: 3e^{2x} כפול 2 מינוס 4e^{x} כפול 1 משוערך כ- (6e^{2x} - 4e^{x}) נגזור את המכנה: 2x נציב לתוך הנוסחה: (f'g - fg') / g^2 = ((6e^{2x} - 4e^{x})·x^2 - (3e^{2x} - 4e^{x}) · 2x) / x^4 פשט את הביטוי בהתאם.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודת הקיצון של פונקציה מעריכית

איך לגזור ולמצוא נקודות קיצון בצורה ברורה ופשוטה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודות קיצון (מקסימום ומינימום) של הפונקציה / ערכי y בנקודות אלו
נתון 1
נתון 1
y = (3e^(2x) - 4e^x) / x^2
רעיון
הרעיון המרכזי
לגזור את הפונקציה בעזרת כלל המנה ושרשרת, למצוא איפה הנגזרת מתאפסת, ולהציב ערכים אלו בחזרה
נוסחה
נגזרת לפי כלל המנה: (f'g - fg') / g^2
( (6e^(2x)- 4e^(x)) * x^2- (3e^(2x)- 4e^(x)) * 2x ) / x^4( (6e^(2x) - 4e^(x))·x^2 - (3e^(2x) - 4e^(x))·2x ) / x^4
משוואה
גרור את המכנה והצמצם כדי לקבל משוואה שווה לאפס, הפתרונות הם נקודות קיצון
גרור את המכנה והצמצם כדי לקבל משוואה שווה לאפס, הפתרונות הם נקודות קיצון אפשריות
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
סמן חיצים וטייב את התנהגות הפונקציה מסביב לנקודות הנמצאות
בדיקה
בדיקה קצרה
- נזכור להשתמש בכלל המנה לגזירת פונקציה של מנה.
- חשוב לגלות נקודות אפס של הנגזרת כדי לאתר נקודות קיצון.
- זהירות: שכחה לגזור את הביטוי הפנימי של e בחזקה (כלל השרשרת).

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפונקציה הנתונה

מה עושים

הפונקציה היא y = (3e^{2x} - 4e^x) / x^2

למה

הזיהוי של הפונקציה הוא השלב הראשון לניתוח והגזירה שלה.

בחירת שיטה

להשתמש בכלל המנה והשרשרת

מה עושים

לזכור שצריך לגזור את המונה והמכנה ומכפלתם לפי כלל המנה, ולגזור את e^{2x} כפי שצריך

למה

פונקציה היא מנה ולכן צריך להשתמש בכלל המנה; הנגזרות של האקספוננטיאליות כוללות את כלל השרשרת.

להקשיב לסעיף הכולל גזירת e בחזקה.

בניית משוואה

רשום את נגזרת הפונקציה

מה עושים

נגזרת לפי כלל המנה: (f'g - fg') / g^2

למה

מבנה הנגזרת לפונקציה מחולקת

נוסחה / הצבה

( (6e^(2x)- 4e^(x)) * x^2- (3e^(2x)- 4e^(x)) * 2x ) / x^4( (6e^(2x) - 4e^(x))·x^2 - (3e^(2x) - 4e^(x))·2x ) / x^4

זכור להציב את נגזרת המונה והמכנה לתוך כלל המנה.

פתרון

מצא איפה הנגזרת שווה לאפס

מה עושים

גרור את המכנה והצמצם כדי לקבל משוואה שווה לאפס, הפתרונות הם נקודות קיצון אפשריות

למה

נקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס הן נקודות קיצון פוטנציאליות

הוצא גורם משותף וחפש פתרונות למשוואה במונה המצומצם = 0

להוציא גורם משותף ולהשתמש בחיצים כדי לסמן סימנים.

בדיקה

בדוק את סוג נקודת הקיצון

מה עושים

סמן חיצים וטייב את התנהגות הפונקציה מסביב לנקודות הנמצאות

למה

כדי להימנע מטעויות יש לבדוק האם הנקודה היא מינימום, מקסימום או נקודת פיתול

השתמש בסימני הנגזרת ימינה ושמאלה מהנקודה.

תשובה

חשב את ערך y בנקודות הקיצון

מה עושים

הציב את נקודות הקיצון שחישבת בפונקציה המקורית לקבלת ערכי y

למה

כדי לדעת את המיקום המדויק של נקודות הקיצון במישור

בדוק את התוצאה וודא שאין חילוק באפס.

פתרונות כלליים

גזירת פונקציה מעריכית עם מכפלה ומנה: נשתמש בכלל המנה: נגזור את המונה: 3e^{2x} כפול 2 מינוס 4e^{x} כפול 1 משוערך כ- (6e^{2x} - 4e^{x}) נגזור את המכנה: 2x נציב לתוך הנוסחה: (f'g - fg') / g^2 = ((6e^{2x} - 4e^{x})·x^2 - (3e^{2x} - 4e^{x}) · 2x) / x^4 פשט את הביטוי בהתאם.

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. חקירה של פונקציה מעריכית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

ניווט לפי נושאים

חקירה מעריכית

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודות קיצון (מקסימום ומינימום) של הפונקציה / ערכי y בנקודות אלו

נתון 1

הרעיון המרכזי

נגזרת לפי כלל המנה: (f'g - fg') / g^2

גרור את המכנה והצמצם כדי לקבל משוואה שווה לאפס, הפתרונות הם נקודות קיצון

מפשטים

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הפונקציה הנתונה

להשתמש בכלל המנה והשרשרת

רשום את נגזרת הפונקציה

מצא איפה הנגזרת שווה לאפס

בדוק את סוג נקודת הקיצון

חשב את ערך y בנקודות הקיצון

פתרונות כלליים