MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה מעריכית

ב2. חקירה של פונקציה מעריכית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
5 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א6. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

א7. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

א8. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב1. חקירה של פונקציה מעריכית ת.ה אסימפטוטת חיתוך עם הצירים עוגנים ציור אינטואיטיבי בקרה במחשבון

וידאו

ב2. חקירה של פונקציה מעריכית מציאת נקודות קיצון בקרה במחשבון

וידאו

ב3. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב4. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ב5. חקירה של פונקציה מעריכית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

סיכום נוסחאות גזירה ותחומי הגדרה

סיכום שיעור

  • השיעור מתמקד בשימוש בנגזרת פונקציה מעריכית למציאת נקודות קיצון על ידי חישוב נגזרת, הצבת ערכים ובקרה במחשבון, כולל סימון על פי סימני הנגזרת לניתוח עלייה וירידה של הפונקציה.
  • להכיר את תהליך חישוב הנגזרת של פונקציה מעריכית כוללת מכנים.
  • לבצע הצבה של ערכים בנגזרת לזיהוי נקודות קיצון.
  • לנתח סימני הנגזרת על מנת לקבוע תחומים של עלייה וירידה בפונקציה.
  • להשתמש במחשבון להצבת ערכי נגזרת ובקרה על הפונקציה.
  • חישוב נגזרת פונקציה מעריכית עם מכנה: מסבירים כיצד לגזור פונקציה מעריכית במכנה תוך קבלת הנגזרת הכוללת את נגזרת המונה והמכנה וחלק המכנה בריבוע.
  • הצבת ערכים בבדיקה ואופטימיזציה במחשבון: מציגים את התהליך של הצבת ערכי x מסוימים (כגון 1 ומינוס 1) בנגזרת ובדיקת סימני הערכים במחשבון.
  • ניתוח סימני הנגזרת ללוח עלייה וירידה: מתארים כיצד לסמן ולהבין את עלייה וירידה של הפונקציה לפי סימנים של הנגזרת באזורי נקודות קיצון, כולל שימוש בסימון מינוס ופלוס.

תרגול קצר

חישוב נגזרת פונקציה מעריכית במנה

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה y = (e^x) / (x^2) במכנה.

נגזרתפונקציה מעריכיתמנה

רמז: השתמש בנוסחת נגזרת המנה: נגזרת של u/v היא (u'v - uv') חלקי v בריבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = (e^x * (x^2 - 2x)) / x^4

u = e^x, u' = e^x v = x^2, v' = 2x הנגזרת היא ((e^x)(x^2) - (e^x)(2x)) / (x^2)^2 פשט זאת ל ((e^x)(x^2 - 2x)) / x^4.

הצבת ערכים לנגזרת ובדיקת סימני קיצון

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה הפונקציה y = (e^x) / (x^2) ונגזרתה כפי שחושבה. חשב את ערך הנגזרת בנקודות x=1 ו-x=-1. קבע האם מדובר בנקודות מינימום, מקסימום או לא.

בדיקהנגזרתקיצון

רמז: הצג את הערכים בנגזרת וחפש את הסימן (מינוס או פלוס).

פתרון מלא

תשובה סופית: x=1: ערך נגזרת שלילי (יורד) -> נקודת מקסימום x=-1: ערך נגזרת חיובי (עולה) -> נקודת מינימום

נציב x=1: y'(1) = (e^1 * (1 - 2)) / 1^4 = e * (-1) = מינוס נציב x=-1: y'(-1) = (e^{-1} * ((-1)^2 - 2*(-1))) / (-1)^4 = (e^{-1} * (1 + 2)) / 1 = e^{-1} * 3 = פלוס מכיוון שהנגזרת ב-1 שלילית – פונקציה יורדת שם, וב-(-1) החיובית – פונקציה עולה. לכן בנקודה x=1 יש נקודת מקסימום, וב-x=-1 נקודת מינימום.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודות קיצון בפונקציה מעריכית עם מכנה

שלב אחר שלב עם הצבת ערכי נגזרת ובקרה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הנגזרת y' של הפונקציה / נקודות קיצון (מקסימום/מינימום) על ידי הצבת ערכים

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = (e^x) / (x^2)
  3. נתון 2

    הנגזרת מחושבת לפי נוסחת נגזרת המנה

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    לחשב נגזרת לפי נוסחת נגזרת מנה, להציג ערכים מסוימים בנגזרת, לנתח סימנים ולסמן עלייה וירידה.

  5. נוסחה

    חשב u' ו-v', החל בנוסחת נגזרת מנה

    (e^x * x^2 - e^x * 2x) / x^4(u'v - uv') / v^2(u'v - uv')/(v^2)
  6. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  7. פישוט

    פשט למחצית משותפת ולקצר ביטויים

    פשט למחצית משותפת ולקצר ביטויים

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    נקודת מינימום בנקודה שבה הנגזרת עוברת מ שלילי לחיובי ולהפך

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

פונקציה נתונה ומטרת החקירה

מה עושים

הגדר את הפונקציה y = (e^x) / (x^2)

למה

זו הפונקציה שעבורה נמצא נגזרת ונקודות קיצון.

הפונקציה שנרצה לחקור כוללת פונקציה מעריכית במונה ומכנה רבוע.

2

בניית משוואה

חשב נגזרת לפי נוסחת המנה

מה עושים

חשב u' ו-v', החל בנוסחת נגזרת מנה

למה

למצוא ביטוי לנגזרת y' שמציג את קצב השינוי של הפונקציה.

u = e^x, u' = e^x v = x^2, v' = 2x

נוסחה / הצבה

(e^x * x^2 - e^x * 2x) / x^4(u'v - uv') / v^2(u'v - uv')/(v^2)

אל תשכח שהנגזרת של e^x זה e^x.

3

פתרון

פשט את הביטוי של הנגזרת

מה עושים

פשט למחצית משותפת ולקצר ביטויים

למה

הנגזרת הבסיסית להבנה והצבה פשוטה יותר

y' = (e^x (x^2 - 2x)) / x^4

אפשר להביא גורם משותף x.

4

פתרון

הצבת ערכים בבדיקת נקודות קיצון

מה עושים

הצג את x=1 ו-x=-1 בנגזרת y'

למה

כדי לבדוק את הסימן של הנגזרת ולבחון עלייה וירידה

אפשר להשתמש במחשבון כדי לקבל ערכים מספריים מדויקים.

5

בחירת שיטה

נתח את סימני הערכים שהתקבלו

מה עושים

קבע האם הנגזרת חיובית או שלילית בכל נקודה

למה

סימן נגזרת חיובי מראה על עלייה ושלילי על ירידה

x=1: נגזרת שלילית -> פונקציה יורדת x=-1: נגזרת חיובית -> פונקציה עולה

6

תשובה

זהה נקודות קיצון

מה עושים

נקודת מינימום בנקודה שבה הנגזרת עוברת מ שלילי לחיובי ולהפך

למה

כדי לסכם את הממצא במחקר הפונקציה

x=-1 נקודת מינימום (הפונקציה עולה) x=1 נקודת מקסימום (הפונקציה יורדת)

פתרונות כלליים

  • חישוב נגזרת פונקציה מעריכית במנה: u = e^x, u' = e^x v = x^2, v' = 2x הנגזרת היא ((e^x)(x^2) - (e^x)(2x)) / (x^2)^2 פשט זאת ל ((e^x)(x^2 - 2x)) / x^4.
  • הצבת ערכים לנגזרת ובדיקת סימני קיצון: נציב x=1: y'(1) = (e^1 * (1 - 2)) / 1^4 = e * (-1) = מינוס נציב x=-1: y'(-1) = (e^{-1} * ((-1)^2 - 2*(-1))) / (-1)^4 = (e^{-1} * (1 + 2)) / 1 = e^{-1} * 3 = פלוס מכיוון שהנגזרת ב-1 שלילית – פונקציה יורדת שם, וב-(-1) החיובית – פונקציה עולה. לכן בנקודה x=1 יש נקודת מקסימום, וב-x=-1 נקודת מינימום.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.