השיעור מתמקד באינטגרלים מסוגים מיוחדים, תוך התמקדות בשיטת ההצבה והטיפול באינטגרלים על מנות המשלבים נגזרות וחזקות. מוצגות שיטות לפישוט אינטגרלים מורכבים באמצעות הצבה וניתוח נגזרות פנימיות.
להבין איך ליישם שיטת ההצבה באינטגרלים מורכבים
לזהות מתי ניתן להחליף ביטויים במשתנה חדש לשם פישוט האינטגרל
ללמוד כיצד לטפל באינטגרלים שמכילים מנה, נגזרות וחזקות בו-זמנית
להבין את חשיבות הטיפול בנגזרת הפנימית בעת חישוב אינטגרלים מסוג זה
לתרגל ביצוע פתירה מדויקת של אינטגרלים עם הצבה ובקרה
מושגי יסוד בשיטת ההצבה: הצבה של ביטוי בתוך משתנה חדש (כגון t) כדי לפשט אינטגרלים מורכבים
אינטגרל על מנה עם חזקות ונגזרות: נלמד חישוב אינטגרלים המשלבים מנה של פונקציה חזקה ונגזרת שלה דרך הצבה ושימוש בנגזרת פנימית

תרגול קצר

אינטגרל של פונקציה עם הצבה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של הפונקציה F'(x) חלקי F(x) בחזקה שלישית ביחס ל- x בזהירות בעזרת שיטת ההצבה.

אינטגרליםהצבהחזקותנגזרות

רמז: החלף את F(x) במשתנה t וכתוב את האינטגרל במשתנה t. לאחר מכן בצע אינטגרציה והחזר למשתנה x.

פתרון מלא

תשובה סופית: -1/2 * (F(x))^-2 + C

נגדיר t=F(x), לכן dt=F'(x) dx. האינטגרל המקורי הוא אינטגרל של 1/t בחזקה שלישית dt כלומר אינטגרל של t⁻³ dt. נחשב אינטגרל זה לפי הנוסחה ∫t^n dt = t^(n+1)/(n+1) + C, עם n=-3. מתקבל t^-2/-2 + C, כלומר מינוס 1/2 t^-2 + C. מחזירים ל-F של x: התשובה היא מינוס 1/2 חלקי F(x) בריבוע + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל בשיטת ההצבה

אינטגרל של F'(x) חלקי F(x) בחזקה 3

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הערך המדויק של האינטגרל בפונקציית x
נתון 1
F(x) פונקציה ממשית
נתון 2
גזירה של F(x) נתונה כ-F'(x)
נתון 3
האינטגרל של 1 על F(x) בחזקה 3
רעיון
הרעיון המרכזי
החלפת הביטוי F(x) במשתנה t ופישוט האינטגרל באמצעות dt
נוסחה
החלפת dx והפונקציות ל dt וביטוי ב-t
integral of F'(x) over (F(x))^3 dx equals integral of t^-3dt∫ F'(x)/(F(x))^3 dx = ∫ t^(-3) dt(F'(x))/((F(x))^3) dx = t^(-3) dt
משוואה
נקבע t = F(x)
נקבע t = F(x)
פישוט
נחשב את אינטגרל t^{-3} dt
נחשב את אינטגרל t^{-3} dt
∫ t^(-3) dt = t^(-2) / (-2) + C

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הצבה

מה עושים

נקבע t = F(x)

למה

כדי לפשט את הפרמטר בתוך האינטגרל ולהחליף את המשתנה

ביצוע החלפה של F(x) במשתנה t כדי לעבוד עם ביטוי פשוט יותר

זוהי השיטה להקל על החישוב

בחירת שיטה

חישוב נגזרת

מה עושים

נמצא dt = F'(x) dx

למה

לפי הגדרה, נגזרת t כפונקציה של x היא F'(x) dx

הכנת הביטוי למעבר לאינטגרל במשתנה t

חשוב לזכור שהדיפרנציאל לוקח את הנגזרת הפנימית

בניית משוואה

המרת האינטגרל

מה עושים

החלפת dx והפונקציות ל dt וביטוי ב-t

למה

הקרנה של האינטגרל ל-(1/t^3) dt במקום במשתנה x

הכתיבה מחדש של האינטגרל בצורה פשוטה יותר

נוסחה / הצבה

integral of F'(x) over (F(x))^3 dx equals integral of t^-3dt∫ F'(x)/(F(x))^3 dx = ∫ t^(-3) dt(F'(x))/((F(x))^3) dx = t^(-3) dt

שינוי משתנה מפשט את האינטגרל לנוסחה מוכרת

פתרון

ביצוע אינטגרציה

מה עושים

נחשב את אינטגרל t^{-3} dt

למה

אינטגרל של t בחזקה n הוא t^(n+1)/(n+1)

הפעלת נוסחת האינטגרל התקנית

נוסחה / הצבה

integral of t^-3 dt equals t^-2 divided by -2 plus C∫ t^(-3) dt = t^(-2) / (-2) + Ct^(-3) dt = (t^(-2))/(-2) + C

יש לזכור להוסיף קבוע אינטגרציה

תשובה

החזרת התוצאה ל-x

מה עושים

מחזירים את t לשורש F(x) לקבלת התשובה

למה

הצבה מחדש למשתנה המקורי מבטיחה את הפתרון במונחי x

כתיבת התוצאה הסופית בצורה המקורית

נוסחה / הצבה

-1/2 times F(x) to the power -2 plus C-1/2 * (F(x))^(-2) + C-(1)/(2) (F(x))^(-2) + C

אל תשכחו את קבוע האינטגרציה

פתרונות כלליים

אינטגרל של פונקציה עם הצבה: נגדיר t=F(x), לכן dt=F'(x) dx. האינטגרל המקורי הוא אינטגרל של 1/t בחזקה שלישית dt כלומר אינטגרל של t⁻³ dt. נחשב אינטגרל זה לפי הנוסחה ∫t^n dt = t^(n+1)/(n+1) + C, עם n=-3. מתקבל t^-2/-2 + C, כלומר מינוס 1/2 t^-2 + C. מחזירים ל-F של x: התשובה היא מינוס 1/2 חלקי F(x) בריבוע + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב4. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הערך המדויק של האינטגרל בפונקציית x

F(x) פונקציה ממשית

גזירה של F(x) נתונה כ-F'(x)

האינטגרל של 1 על F(x) בחזקה 3

הרעיון המרכזי

החלפת dx והפונקציות ל dt וביטוי ב-t

נקבע t = F(x)

נחשב את אינטגרל t^{-3} dt

פתרון מפורט

הגדרת הצבה

חישוב נגזרת

המרת האינטגרל

ביצוע אינטגרציה

החזרת התוצאה ל-x

פתרונות כלליים