שיעור זה מסביר כיצד לבצע אינטגרלים באמצעות החלפת משתנים ושיטת ההצבה. נלמד כיצד להחליף את המשתנה באינטגרל תוך שימוש בנגזרות, וכיצד לבצע אינטגרציה בפשטות יותר, כולל חזרה למשתנה המקורי ובקרה לאחר החישוב.
להבין את מהות החלפת המשתנים באינטגרלים
ליישם את שיטת ההצבה לפישוט אינטגרלים מורכבים
לחשב אינטגרלים לפונקציות פולינומיאליות באמצעות החלפת משתנים
לעשות בקרה על תוצאות החישוב ולהחזיר את המשתנה למקורו
החלפת משתנים באינטגרל: בשלב ראשון מחליפים את המשתנה למשתנה פשוט יותר באמצעות פונקציה ותפיסת הנגזרת.
חישוב האינטגרל לאחר החלפה: בחבר את האינטגרל בפשטות הנובעת מהמשתנה החדש ומחשב את האינטגרל החדש.
חזרה למשתנה המקורי ובקרה: מחזירים את המשתנה למקורו ומבצעים בקרה על הפיתרון כדי לוודא נכונות.

תרגול קצר

אינטגרל באמצעות החלפת משתנים פשוטה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של הביטוי: (x^2 - 5x + 2)^3 dx בעזרת החלפת משתנים.

אינטגרלהחלפת משתניםשיטת ההצבה

רמז: העלה את הביטוי למשתנה חדש t והשתמש בנגזרת שלו כדי להחליף dx ב dt.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1/4 (x^2 - 5x + 2)^4 + c

נגדיר t = x^2 - 5x + 2 נגזור: dt/dx = 2x - 5 => dx = dt / (2x - 5) נחליף באינטגרל ונחשב מחדש. האינטגרל הפך ל: ∫ t^3 dt = t^4/4 + c נחזיר את t לביטוי ב x: (x^2 - 5x + 2)^4 / 4 + c

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל עם החלפת משתנים

פרוצדורה פשוטה לפתרון אינטגרל פולינומי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את הערך של האינטגרל
נתון 1
נתון 1
הפונקציה f(x) = (x² - 5x + 2)³
נתון 2
האינטגרל ∫ f(x) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
החלף את המשתנה ל t = הביטוי בתוך הסוגריים, חשב את dt ומצא את האינטגרל ב t
נוסחה
החלפת הביטוי באינטגרל ל t^3 dt
אינטגרל של t בחזקת 3 על dtt^3 dt
משוואה
נגזר את t ביחס ל x: dt/dx = 2x - 5
נגזר את t ביחס ל x: dt/dx = 2x - 5
פישוט
חשב את האינטגרל וקבל t^4 חלקי 4 + c
חשב את האינטגרל וקבל t^4 חלקי 4 + c
t בחזקת 4 חלקי 4 ועוד ct^4 / 4 + c
תוצאה
מסיימים בתשובה
תחליף חזרה את t לביטוי המקורי

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת המשתנה t

מה עושים

קבע את t = x² - 5x + 2

למה

כדי לפשט את האינטגרל המורכב לפונקציה בודדת של t

לוקחים את הביטוי בתוך הסוגריים כמשתנה חדש

בחר ביטוי המשולב בחזקה באינטגרל

בניית משוואה

חשב dt

מה עושים

נגזר את t ביחס ל x: dt/dx = 2x - 5

למה

כדי להמיר dx ל dt באינטגרל

מוצאים את הנגזרת של השינוי לפי x

אל תשכח את חוק השרשרת

בחירת שיטה

החלפת dx ב dt

מה עושים

מבודד dx מביטוי נגזרת: dx = dt / (2x - 5)

למה

כדי לבטא הכל במשתנה t וב dt

הכנה לכתיבת האינטגרל במונחי t

קח בחשבון שהאינטגרל חייב להיות במשתנה אחד בלבד

פתרון

כתיבת האינטגרל במשתנה t

מה עושים

החלפת הביטוי באינטגרל ל t^3 dt

למה

פישוט המשוואה לאינטגרל פשוט ומוכר

הפיכת אינטגרל ל-t^3 dt שמאפשר אינטגרציה נוחה

נוסחה / הצבה

אינטגרל של t בחזקת 3 על dtt^3 dt

פנה לאינטגרל של חזקות

פתרון

ביצוע האינטגרל

מה עושים

חשב את האינטגרל וקבל t^4 חלקי 4 + c

למה

שימוש בכלל האינטגרציה לפונקציות חזקה

מציאת הפונקציה הקדומה במשתנה t

נוסחה / הצבה

t בחזקת 4 חלקי 4 ועוד ct^4 / 4 + c(t^(4))/(4) + c

אל תשכח את הקבוע c

תשובה

החזרת המשתנה x

מה עושים

תחליף חזרה את t לביטוי המקורי

למה

כדי לקבל את הפתרון במשתנה ההתחלתי

ידיעה ש t הוא הביטוי x² - 5x + 2

שמור על סדר נכון של ביטויים

פתרונות כלליים

אינטגרל באמצעות החלפת משתנים פשוטה: נגדיר t = x^2 - 5x + 2 נגזור: dt/dx = 2x - 5 => dx = dt / (2x - 5) נחליף באינטגרל ונחשב מחדש. האינטגרל הפך ל: ∫ t^3 dt = t^4/4 + c נחזיר את t לביטוי ב x: (x^2 - 5x + 2)^4 / 4 + c

הפריט הקודם הפריט הבא

ב2. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ-806

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את הערך של האינטגרל

נתון 1

האינטגרל ∫ f(x) dx

הרעיון המרכזי

החלפת הביטוי באינטגרל ל t^3 dt

נגזר את t ביחס ל x: dt/dx = 2x - 5

חשב את האינטגרל וקבל t^4 חלקי 4 + c

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת המשתנה t

חשב dt

החלפת dx ב dt

כתיבת האינטגרל במשתנה t

ביצוע האינטגרל

החזרת המשתנה x

פתרונות כלליים