השיעור עוסק באינטגרלים מיוחדים, במיוחד אינטגרל של פונקציית הקוטנגנס, באמצעות שיטת ההצבה המשלבת חילוק פולינומים והחלפת משתנים. מוצגת הצבה לשינוי פונקציית הקוטנגנס לפונקציה של משתנה חדש לפישוט האינטגרציה.
להבין ולהשתמש בשיטת הצבה לאינטגרלים של פונקציות טריגונומטריות
לחשב אינטגרלים של פונקציית קוטנגנס באמצעות הצבה מתאימה
לשלב בין נגזרות ואינטגרלים לוגאריתמיים
להבין את השימוש בערך מוחלט בתוך אינטגרלים לוגאריתמיים
הצגת הקוטנגנס בשם משתנה t: הפונקציה cotangent של x מוצגת כשבר עם cosinus במונה ו-sinus במכנה. מבוצעת הצבה של t=sine x כדי לפשט את האינטגרל.
חשבונאות האינטגרל עם t: האינטגרל של cotangent מומר לאינטגרל של פונקציה 1/t dt שניתן לפתור בצורה לוגארית.

תרגול קצר

אינטגרל של קוטנגנס פשוט

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל ∫ cot(x) dx באמצעות הצבה.

אינטגרליםהצבהטיגונומטריהקוטנגנס

רמז: שנה את cot(x) לקרטזיון באמצעות sin ו-cos. הצב t=sin(x).

פתרון מלא

תשובה סופית: ln|sin(x)| + C

נציב t=sin(x), לכן dt=cos(x) dx, ומה שווה cot(x) dx? cot(x) = cos(x)/sin(x), לכן cot(x) dx = cos(x) dx / sin(x) = dt / t. האינטגרל הוא ∫ 1/t dt = ln|t| + C = ln|sin(x)| + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל של קוטנגנס

אינטגרל של cot(x) באמצעות הצבה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא אינטגרל ∫ cot(x) dx
נתון 1
נתון 1
פונקציית הקוטנגנס: cot(x) = cos(x) / sin(x)
נתון 2
המשתנה x
רעיון
הרעיון המרכזי
נבצע הצבה t = sin(x) כדי להפוך את האינטגרל לפשוט יותר, ולאחר מכן נפתור אינטגרל לוגריתמי.
נוסחה
האינטגרל הופך ל- ∫ 1/t dt.
integral 1/t dt∫ 1/t dt(1)/(t) dt
משוואה
נקבע t = sin(x) ונגזור dt = cos(x) dx.
נקבע t = sin(x) ונגזור dt = cos(x) dx.
פישוט
האינטגרל שווה ל-ln |t| + C.
האינטגרל שווה ל-ln |t| + C.
ln absolute t + Cln |t| + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
נגזור את ln |sin(x)| + C ונבדוק שתחזיר cot(x).

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת המשתנה החדש t

מה עושים

נקבע t = sin(x) ונגזור dt = cos(x) dx.

למה

החלפת משתנים תאפשר פישוט האינטגרל.

הצבה של t במקום sin(x) מפשטת את המכנה של cotangent.

בחירת שיטה

הבע cotangent כ-1 חלקי t

מה עושים

נכתוב cot(x) dx = cos(x)/sin(x) dx = dt / t.

למה

הבעה זו מאפשרת אינטגרציה פשוטה של פונקציה 1/t.

השינוי מאפשר כתיבת האינטגרל כ־∫ 1/t dt.

בניית משוואה

כתיבת האינטגרל במשתנה t

מה עושים

האינטגרל הופך ל- ∫ 1/t dt.

למה

זו אינטגרל פשוט ידוע לפתרון לוגריתמי.

מציאת האינטגרל ∫ 1/t dt שהוא ln |t| + C.

נוסחה / הצבה

integral 1/t dt∫ 1/t dt(1)/(t) dt

פתרון

פתרון האינטגרל

מה עושים

האינטגרל שווה ל-ln |t| + C.

למה

זהו פתרון אינטגרל בסיסי של פונקציה 1/x.

נחזיר את t לסינוס המקורי: ln |sin(x)| + C.

נוסחה / הצבה

ln absolute t + Cln |t| + C|t| + C

בדיקה

בדיקת התוצאה

מה עושים

נגזור את ln |sin(x)| + C ונבדוק שתחזיר cot(x).

למה

הגזירה מאמתת את נכונות התוצאה.

נגזור ונקבל 1/sin(x) כפול cos(x) = cot(x).

פתרונות כלליים

אינטגרל של קוטנגנס פשוט: נציב t=sin(x), לכן dt=cos(x) dx, ומה שווה cot(x) dx? cot(x) = cos(x)/sin(x), לכן cot(x) dx = cos(x) dx / sin(x) = dt / t. האינטגרל הוא ∫ 1/t dt = ln|t| + C = ln|sin(x)| + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

א7. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא אינטגרל ∫ cot(x) dx

נתון 1

המשתנה x

הרעיון המרכזי

האינטגרל הופך ל- ∫ 1/t dt.

נקבע t = sin(x) ונגזור dt = cos(x) dx.

האינטגרל שווה ל-ln |t| + C.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת המשתנה החדש t

הבע cotangent כ-1 חלקי t

כתיבת האינטגרל במשתנה t

פתרון האינטגרל

בדיקת התוצאה

פתרונות כלליים