השיעור מתמקד באינטגרלים של ביטויים טריגונומטריים, באמצעות שיטת ההצבה ובחינה של מקרי קצה בפישוט והגזירה. כמקרה דוגמה, מחשבים את האינטגרל של טנגנט כפול זווית באמצעות הצבה מתאימה ומעבר לנוסחות לוגריתמיות.
להבין ולהשתמש בשיטת ההצבה באינטגרלים טריגונומטריים
לזהות מתי להשתמש בהוספת חזקה במכנה לאינטגרל
לתרגל המרת פונקציה טריגונומטרית לפונקציה לוגריתמית באמצעות אינטגרל
להשתמש בנגזרת פנימית להגברת דיוק בחישוב אינטגרלים
לשלוט על פישוט ביטויים מורכבים באינטגרלים בעל שיטות מתקדמות
שיטת ההצבה באינטגרלים: הצגת שיטת ההצבה ככלי מרכזי לפישוט אינטגרלים כאשר יש פונקציה טריגונומטרית מורכבת. דוגמא על טנגנט כפול זווית.

תרגול קצר

אינטגרל של טנגנט 2X באמצעות הצבה

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל של הפונקציה tan(2x) dx באמצעות שיטת ההצבה והעבר לפונקציה לוגריתמית.

אינטגרליםשיטת ההצבהטריגונומטריהלוגריתמים

רמז: השתמש בהצבה של cos(2x) כסימן T, ומצא את הביטוי ל-sin(2x) dx לפי dt.

פתרון מלא

תשובה סופית: -1/2 ln|cos(2x)| + C

נסמן t = cos(2x). הנגזרת dt = -2 sin(2x) dx. לכן sin(2x) dx = -dt/2. האינטגרל tan(2x) dx = אינטגרל sin(2x)/cos(2x) dx = אינטגרל (1/t)(sin(2x) dx) = אינטגרל (1/t)(-dt/2) = -1/2 אינטגרל 1/t dt = -1/2 ln|t| + C = -1/2 ln|cos(2x)| + C.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל של טנגנט 2X

שימוש בשיטת ההצבה לפישוט אינטגרל טריגונומטרי

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את האינטגרל של tan(2x) dx בפונקציה לוגריתמית
נתון 1
נתון 1
הפונקציה tan(2x) = sin(2x)/cos(2x)
נתון 2
נתון 2
הגדרת t = cos(2x)
נתון 3
נגזרת cos(2x) היא -2 sin(2x) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
הצבה של פונקציה מבנה מורכב לצורך פישוט האינטגרל והמרתו ללוגריתם טבעי.
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
נסמן t = cos(2x)
נסמן t = cos(2x)
פישוט
אינטגרל tan(2x) dx = אינטגרל (1/t)(-dt/2)
אינטגרל tan(2x) dx = אינטגרל (1/t)(-dt/2)

סיום הפתרון והצגת התשובה הסופית

חשוב לדעת לזהות הסבר גזירה הפוך ללמידה חוזרת

פתרונות כלליים

אינטגרל של טנגנט 2X באמצעות הצבה: נסמן t = cos(2x). הנגזרת dt = -2 sin(2x) dx. לכן sin(2x) dx = -dt/2. האינטגרל tan(2x) dx = אינטגרל sin(2x)/cos(2x) dx = אינטגרל (1/t)(sin(2x) dx) = אינטגרל (1/t)(-dt/2) = -1/2 אינטגרל 1/t dt = -1/2 ln|t| + C = -1/2 ln|cos(2x)| + C.

הפריט הקודם הפריט הבא

א3. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את האינטגרל של tan(2x) dx בפונקציה לוגריתמית

נתון 1

נתון 2

נגזרת cos(2x) היא -2 sin(2x) dx

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

נסמן t = cos(2x)

אינטגרל tan(2x) dx = אינטגרל (1/t)(-dt/2)

פתרון מפורט

סימון משתנה להצבה

חשב נגזרת של t לפי x

הבע ביטוי sin(2x) dx דרך dt

הכנס הצבות לאינטגרל

חשב אינטגרל באופן לוגריתמי

החזר לגרסת X

פתרונות כלליים