שיעור המלמד כיצד להשתמש בשיטת ההצבה לפישוט אינטגרלים המכילים פונקציות לוגריתמיות עם נגזרות מתאימות.
להבין כיצד לבצע הצבה של משתנה באינטגרל.
לזהות נגזרת של פונקציה מורכבת ולהשתמש בה לצמצום האינטגרל.
לתרגם אינטגרל מסובך לאינטגרל פשוט יותר באמצעות הצבה.
לחזור למשתנה המקורי לאחר הפתרון ולהוסיף את הקבוע המתאים.
הצגת שיטת ההצבה לאינטגרלים מבוססי ln x: נלמד כיצד לבצע הצבה כאשר יש פונקציה לוגריתמית, ונעשה זאת דרך חישוב הנגזרת והתאמת האינטגרל לצורה פשוטה.

תרגול קצר

אינטגרל עם הצבת ln x

רמת קושי: קל

ממתין

מצאו את האינטגרל של ln(x) על פי שיטת ההצבה.

אינטגרליםשיטת ההצבהלוגריתם

רמז: בצעו הצבה t = ln x, זכרו שהנגזרת dt = 1/x dx.

פתרון מלא

תשובה סופית: חצי (ln x) בריבוע + c

הציבו t = ln x. הנגזרת dt = 1/x dx. האינטגרל הופך לכלול t ו-dt, שקל לפתור. לאחר פתרון תחזירו את t ל-ln x ותוסיפו קבוע אינטגרציה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל בעזרת שיטת ההצבה

דוגמה עם פונקציית ln x

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא הערך של האינטגרל עם הצבה נכונה
נתון 1
פונקציה ln(x) בתוך האינטגרל
נתון 2
נגזרת של ln(x) היא 1/x
רעיון
הרעיון המרכזי
שנה את המשתנה בעזרת הצבה t = ln x כדי להקל על חישוב האינטגרל.
נוסחה
חשב את האינטגרל של t לפי נוסחה מוכרת.
אינטגרל t dt = חצי t בריבוע + cאינטגרל של t dt = חצי t בריבוע + ct dt = (t^2)/(2) + c
משוואה
חשב dt = 1/x dx על פי הנגזרת של ln x.
חשב dt = 1/x dx על פי הנגזרת של ln x.
dt = 1/x dxd t = (1)/(x) dx
פישוט
החלף 1/x dx ב-dt ו-ln x ב-t כדי לקבל אינטגרל פשוט יותר.
החלף 1/x dx ב-dt ו-ln x ב-t כדי לקבל אינטגרל פשוט יותר.
אינטגרל של t dtהאנטגרל يصبح אינטגרל t dt
תוצאה
מסיימים בתשובה
החלף חזרה t ב-ln x וסיים באינטגרל המלא עם הקבוע.
חצי (ln x) בריבוע + c(( x)^2)/(2) + c

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הכרת הנתון

מה עושים

זהה שהאינטגרל כולל ln(x) והנגזרת 1/x dx.

למה

הנגזרת מאפשרת הצבה שתפשט את האינטגרל.

אינטגרל ln(x) dx מכיל את הביטוי 1/x כחלק מהנגזרת.

בחירת שיטה

בצע הצבה

מה עושים

הצביע t = ln x.

למה

הצבה מסוג זה מומחשת בפישוט אינטגרלים עם לוגריתמים.

הקפד להחליף dx ל-dt בהתאם לנגזרת.

בניית משוואה

חשב נגזרת הצבה

מה עושים

חשב dt = 1/x dx על פי הנגזרת של ln x.

למה

זוהי דרישה להחלפה נכונה במשתנים.

נוסחה / הצבה

dt = 1/x dxd t = (1)/(x) dx

פתרון

החלף באינטגרל

מה עושים

החלף 1/x dx ב-dt ו-ln x ב-t כדי לקבל אינטגרל פשוט יותר.

למה

כך האינטגרל הופך ל-t dt.

נוסחה / הצבה

אינטגרל של t dtהאנטגרל يصبح אינטגרל t dt

הקטן את המורכבות ע״י הצבה.

פתרון

חשב אינטגרל פשוט

מה עושים

חשב את האינטגרל של t לפי נוסחה מוכרת.

למה

האינטגרל של t פשוט יותר מחישוב האינטגרל המקורי.

נוסחה / הצבה

אינטגרל t dt = חצי t בריבוע + cאינטגרל של t dt = חצי t בריבוע + ct dt = (t^2)/(2) + c

תשובה

החזר למשתנה המקורי

מה עושים

החלף חזרה t ב-ln x וסיים באינטגרל המלא עם הקבוע.

למה

פתרון צריך להינתן במשתנה המקורי.

נוסחה / הצבה

חצי (ln x) בריבוע + c(( x)^2)/(2) + c

זכור תמיד להוסיף את קבוע האינטגרציה.

פתרונות כלליים

אינטגרל עם הצבת ln x: הציבו t = ln x. הנגזרת dt = 1/x dx. האינטגרל הופך לכלול t ו-dt, שקל לפתור. לאחר פתרון תחזירו את t ל-ln x ותוסיפו קבוע אינטגרציה.

הפריט הקודם הפריט הבא

א2. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא הערך של האינטגרל עם הצבה נכונה

פונקציה ln(x) בתוך האינטגרל

נגזרת של ln(x) היא 1/x

הרעיון המרכזי

חשב את האינטגרל של t לפי נוסחה מוכרת.

חשב dt = 1/x dx על פי הנגזרת של ln x.

החלף 1/x dx ב-dt ו-ln x ב-t כדי לקבל אינטגרל פשוט יותר.

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הכרת הנתון

בצע הצבה

חשב נגזרת הצבה

החלף באינטגרל

חשב אינטגרל פשוט

החזר למשתנה המקורי

פתרונות כלליים