בשיעור זה נלמד כיצד לפתור אינטגרלים המכילים פונקציות טריגונומטריות בחזקות באמצעות שינוי משתנה בשיטת ההצבה, כולל טיפול בקושי של פונקציות המופיעות כחזקות ובצורת נגזרות פנימיות.
להכיר כיצד להשתמש בשיטת ההצבה לפישוט אינטגרלים עם פונקציות טריגונומטריות
להבין איך להתמודד עם פונקציות בחזקות באינטגרלים
להכיר את הקשר בין נגזרת פונקציה לבין נוכחות גורם נגזרתי בשיטה
לפתח יכולת זיהוי הקשרים בין ביטויים טריגונומטריים שונים באינטגרלים
הצגת הבעיה: זיהוי תרגיל אינטגרל עם קוסינוס בחזקה וסינוס במקדם, ולאחר מכן חשיבה על שינוי משתנה שעושה את הפישוט ליישום שיטת ההצבה.
השימוש בשיטת ההצבה: יצירת שינוי משתנה על ידי הצבת T = קוסינוס X וגזירה, כדי לקבל ביטוי אינטגרלים קל יותר לפתרון.
פתרון וחזרה למשתנה המקורי: פתרון אינטגרל בפורמט המשתנה החדש, ולאחר מכן חזרה ל-X והוספת הקבוע C להשלמת הפתרון.

תרגול קצר

אינטגרל קוסינוס בחזקת 3 כפול סינוס

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל ∫ cos^3(x) sin(x) dx באמצעות שיטת ההצבה.

אינטגרליםשיטת הצבהטריגונומטריה

רמז: הציב T=cos(x), גזור וצור ביטוי חדש באינטגרל עבור dT.

פתרון מלא

תשובה סופית: - (1/4) cos^4(x) + C

נסמן T=cos(x), אז dT = -sin(x) dx ולכן sin(x) dx = -dT. האפוטרופוס ∫ cos^3(x) sin(x) dx הופך ב- T ל- ∫ T^3 (-dT) = -∫ T^3 dT נחשב את האינטגרל: - (T^4 /4) + C נחזור לx: - (cos^4(x) /4) + C

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון לאינטגרל cos^3(x) sin(x) dx

שימוש בשיטת ההצבה לפישוט אינטגרל טריגונומטרי

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא את ערך האינטגרל
נתון 1
נתון 1
אינטגרל של cos^3(x) sin(x) dx
רעיון
הרעיון המרכזי
הענקת שינוי משתנה באמצעות הצבת t = cos(x) להמיר את האינטגרל לפונקציה פשוטה ב-t.
נוסחה
נחליף את cos^3(x) ב-T^3 ואת sin(x) dx ב-(-dT).
Integral cos^3(x) sin(x) dx = - Integral T^3 dT∫ cos^3(x) sin(x) dx = - ∫ T^3 dT^3(x) (x) dx = - T^3 dT
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
אינטגרל של T^3 הוא T^4 חלקי 4, עם סימן מינוס מחוץ.
אינטגרל של T^3 הוא T^4 חלקי 4, עם סימן מינוס מחוץ.
- Integral T^3 dT = - (T^4 /4) + C- ∫ T^3 dT = - (T^4 /4) + C
תוצאה
מסיימים בתשובה
נחליף את T בחזרה ל-cos(x).
- (cos^4(x) /4) + C- (cos^4(x)/4) + C
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם הצבת המשתנה החדש נכונה בהתאם לפונקציה?
- האם חישבת נכון את נגזרת המשתנה?
- זהירות: שכחת להוסיף את הסימן המינוס בנגזרת של cos(x)

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת שינוי משתנה

מה עושים

נגדיר T להיות פונקציה של x, T = cos(x).

למה

כדי להשתמש בנגזרת של cos ולפשט איטגרל.

הצבת T=cos(x) תעזור לייצוג אינטגרל במשתנה יחיד.

בחר פונקציה שהנגזרת שלה מופיעה באינטגרל.

בחירת שיטה

חישוב נגזרת המשתנה החדש

מה עושים

נגזור את T, ולקבל dT = -sin(x) dx.

למה

כדי להמיר את הביטוי עבור sin(x) dx בביטוי עם dT.

נגזרת cos היא מינוס sin, לכן sin(x) dx = -dT.

נוסחה / הצבה

dT = - sin(x) dxdT = -sin(x) dxdT = - x dx

שים לב לסימן המינוס.

בניית משוואה

הצבת הביטוי באינטגרל

מה עושים

נחליף את cos^3(x) ב-T^3 ואת sin(x) dx ב-(-dT).

למה

כדי לקבל אינטגרל פשוט במשתנה T בלבד.

האינטגרל הופך ל- ∫ T^3 (-dT) = - ∫ T^3 dT.

נוסחה / הצבה

Integral cos^3(x) sin(x) dx = - Integral T^3 dT∫ cos^3(x) sin(x) dx = - ∫ T^3 dT^3(x) (x) dx = - T^3 dT

שמור על סימני השלילה.

פתרון

חישוב האינטגרל במשתנה T

מה עושים

אינטגרל של T^3 הוא T^4 חלקי 4, עם סימן מינוס מחוץ.

למה

כיוון שהאינטגרל הוא - ∫ T^3 dT.

מתקבל - (T^4 /4) + C.

נוסחה / הצבה

- Integral T^3 dT = - (T^4 /4) + C- ∫ T^3 dT = - (T^4 /4) + C- T^3 dT = - (T^4)/(4) + C

הוסף את הקבוע C.

תשובה

חזרה למשתנה X

מה עושים

נחליף את T בחזרה ל-cos(x).

למה

התוצאה צריכה להיות מותאמת למשתנה המקורי של האינטגרל.

התוצאה הסופית היא - (cos^4(x) /4) + C.

נוסחה / הצבה

- (cos^4(x) /4) + C- (cos^4(x)/4) + C- (^4(x))/(4) + C

וודא לא לשכוח סימנים.

פתרונות כלליים

אינטגרל קוסינוס בחזקת 3 כפול סינוס: נסמן T=cos(x), אז dT = -sin(x) dx ולכן sin(x) dx = -dT. האפוטרופוס ∫ cos^3(x) sin(x) dx הופך ב- T ל- ∫ T^3 (-dT) = -∫ T^3 dT נחשב את האינטגרל: - (T^4 /4) + C נחזור לx: - (cos^4(x) /4) + C

הפריט הקודם הפריט הבא

ב8. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

ניווט לפי נושאים

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

משוואה טריגונומטרית

הנדסה אנליטית

אינטגרלים

שימוש במחשבון casio fx 991es-plus

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

וקטורים גאומטריים ואלגבריים

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

פתרונות של בגרויות

חזרות

מספרים מרוכבים

גדילה ודעיכה

הנדסת המרחב

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

וקטורים שאלות מיוחדות

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא את ערך האינטגרל

נתון 1

הרעיון המרכזי

נחליף את cos^3(x) ב-T^3 ואת sin(x) dx ב-(-dT).

נבנה משוואה

אינטגרל של T^3 הוא T^4 חלקי 4, עם סימן מינוס מחוץ.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הגדרת שינוי משתנה

חישוב נגזרת המשתנה החדש

הצבת הביטוי באינטגרל

חישוב האינטגרל במשתנה T

חזרה למשתנה X

פתרונות כלליים