MMATH
התחברות

וידאו · אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

ב11. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

493 פריטים · 25 נושאים0%
13 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב7. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

וידאו

ב8. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

וידאו

ב9. אינטגרלים מיוחדים חילוק פולינומים - תזכורת מ- 806

וידאו

ב10. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

וידאו

ב11. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

וידאו

ב12. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

וידאו

ב13. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה - תזכורת מ- 806

וידאו

ב14. אינטגרלים מיוחדים שיטת ההצבה- תזכורת מ- 806

סיכום שיעור

  • שיעור תזכורת על אינטגרלים מסוג מיוחד באמצעות חילוק פולינומים ושיטת ההצבה, בדגש על החלפת משתנים ודיפרנציאל.
  • להבין ולהפעיל החלפת משתנים באינטגרלים
  • לזהות ולהשתמש בדיפרנציאלים במהלך אינטגרציה
  • לפתור אינטגרלים עם ביטויים מרוכבים על ידי החלפת משתנים
  • לשחזר ביטויים למשתנה המקורי לאחר חישוב האינטגרל
  • הצגת שיטת ההצבה: שימוש בהחלפת משתנים ובדיפרנציאלים כדי לפשט אינטגרלים שבהם הביטוי קשה ישירות.

תרגול קצר

אינטגרל עם הצבת משתנה - פונקציה ריבועית

רמת קושי: קל

ממתין

חשב את האינטגרל ∫ √(x² - 3x) dx באמצעות הצבת המשתנה t = x² - 3x.

אינטגרליםהצבת משתנהשורשיםפונקציה ריבועית

רמז: קבע t = x² - 3x, חשב dt ומצא כיצד להביע את dx באמצעות dt ו-x.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2 * √(x² - 3x) + c

1. הגדירו t = x² - 3x 2. חשבו dt = (2x - 3) dx 3. כתבו את dx = dt / (2x - 3) 4. הביטוי תחת השורש הוא t 5. האינטגרל הופך ל- ∫√t * dx = ∫√t * dt / (2x - 3) 6. צמצמו את הביטוי לאחר החלפה מתאימה 7. בצעו אינטגרציה פשוטה של t בחזקת חצי 8. החזירו את המונחים למשתנה x 9. הוסיפו את קבוע האינטגרציה c

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון אינטגרל √(x² - 3x) dx בהצבת משתנה

שימוש בהחלפת משתנה t כדי לפשט את האינטגרל

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ∫ √(x² - 3x) dx

  2. נתון 1

    נתון 1

    t = x² - 3x
  3. נתון 2

    נתון 2

    dt = (2x - 3) dx
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    החלפת משתנה t והבעת האינטגרל במונחים של t ו-dt כדי לפשט את החישוב.

  5. נוסחה

    נגזרו את dt לפי x, dt = (2x - 3) dx.

    dt = (2x - 3) dx
  6. משוואה

    האינטגרל מתקבל: ∫√t * (dt / (2x - 3)).

    האינטגרל מתקבל: ∫√t * (dt / (2x - 3)).

    integral of (sqrt(t) * dt / (2x - 3))∫ √t * dt / (2x - 3)(t dt)/(2x - 3)
  7. פישוט

    תמצאו ביטוי ל-2x - 3 כפונקציה של t ומיספרים להשלמת ההחלפה.

    תמצאו ביטוי ל-2x - 3 כפונקציה של t ומיספרים להשלמת ההחלפה.

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    האינטגרל שווה ל-2 שורש (x² - 3x) + C.

    2 * sqrt(x^2 - 3x) + C2 * √(x² - 3x) + C

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הכרזת המשתנה t

מה עושים

קבעו t = x² - 3x כדי להקל על האינטגרל.

למה

פולינום בתוך השורש יכול להפוך למשתנה חדש לפישוט.

הגדרנו משתנה חדש t כדי להחליף ביטוי מפורט ב-x לערך פשוט יותר.

2

זיהוי נתונים

חישוב הדיפרנציאל dt

מה עושים

נגזרו את dt לפי x, dt = (2x - 3) dx.

למה

צריך להחליף את dx כדי להשלים את ההצבה.

חישוב נגזרת t כדי לדעת איך dt מתקשר ל-dx.

נוסחה / הצבה

dt = (2x - 3) dx

זכרו לבצע תמיד את נגזרת המשתנה המשני.

3

בחירת שיטה

הבעת dx בביטוי dt

מה עושים

בודדו את dx: dx = dt / (2x - 3).

למה

מה שנדרש להחליף dx באינטגרל במונחים של dt.

הערה שזו הדרך להעביר את המשתנה לקבלת אינטגרל ב-t בלבד.

נוסחה / הצבה

dx = dt / (2x - 3)dx = (dt)/(2x - 3)

הקפידו על החלפה נכונה כדי למנוע טעויות בהמשך.

4

בניית משוואה

החלפת הביטוי באינטגרל

מה עושים

כעת האינטגרל מתקבל: ∫√t * (dt / (2x - 3)).

למה

הביטוי עכשיו תלוי ב-t ו-dt במקום ב-x.

המחשה איך הביטוי השתנה עם ההצבה.

נוסחה / הצבה

integral of (sqrt(t) * dt / (2x - 3))∫ √t * dt / (2x - 3)(t dt)/(2x - 3)

הבעיה היא עדיין להוריד את התלות ב-x בביטוי.

5

פתרון

החלפה מלאה של x לביטוי ב-t

מה עושים

תמצאו ביטוי ל-2x - 3 כפונקציה של t ומיספרים להשלמת ההחלפה.

למה

כדי להפוך את האינטגרל לשלם במשתנה t.

השלב הקשה ביותר הוא לבודד את x או לבצע שיטת הצבה משנית.

לעיתים צריך להשתמש בשיטות נוספות כדי לפשט למשוואה טהורה של t.

6

תשובה

פתרון הסופי של האינטגרל

מה עושים

האינטגרל שווה ל-2 שורש (x² - 3x) + C.

למה

החלפנו בחזרה למשתנה המקורי לביטוי התוצאה.

חשוב תמיד להחזיר למשתנה המקורי לאחר האינטגרציה.

נוסחה / הצבה

2 * sqrt(x^2 - 3x) + C2 * √(x² - 3x) + C2 x^(2) - 3x + C

אל תשכחו להוסיף את קבוע האינטגרציה.

פתרונות כלליים

  • אינטגרל עם הצבת משתנה - פונקציה ריבועית: 1. הגדירו t = x² - 3x 2. חשבו dt = (2x - 3) dx 3. כתבו את dx = dt / (2x - 3) 4. הביטוי תחת השורש הוא t 5. האינטגרל הופך ל- ∫√t * dx = ∫√t * dt / (2x - 3) 6. צמצמו את הביטוי לאחר החלפה מתאימה 7. בצעו אינטגרציה פשוטה של t בחזקת חצי 8. החזירו את המונחים למשתנה x 9. הוסיפו את קבוע האינטגרציה c
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.