השיעור מתמקד בהוכחה שכללית שסדרה נתונה, המוגדרת על ידי איבר כללי an=5n-8, היא סדרה חשבונית. נלמדים שלבי ההוכחה הכללית באמצעות הגדרות בסיסיות של סדרה חשבונית והפרש קבוע בין איברים סמוכים.
להבין את הגדרה של סדרה חשבונית
ללמוד כיצד להוכיח שסדרה נתונה היא חשבונית בצורה כללית
לתרגל הצבה של איברים כלליים בסדרה
להבין את חשיבות הביצוע של הוכחה כללית לעומת בדיקות פרטיות
הצגת הבעיה: נתונה הסדרה שבה האיבר הכללי מפורש כ-an=5n-8. יש להוכיח שהסדרה היא חשבונית, כלומר שההפרש בין איבר לאיבר קבוע.
בדיקות פרטיות לעומת הוכחה כללית: מבוצעות בדיקות להצבה של ערכי n שונים ומחשבים את האיבר בהתאם, אך האמת היא שהן לא מוכיחות כלליות ולכן הן לא מספיקות.
הוכחה כללית: מציבים את an ו-an-1 לפי הנוסחה הנתונה, מחשבים את ההפרש d=an - an-1 ומגלים כי הוא קבוע (5). לפי ההגדרה, זו סדרה חשבונית.

תרגול קצר

הוכחה שסדרה נתונה היא חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הסדרה שבה האיבר הכללי הוא an = 5n - 8. הוכח שהסדרה היא סדרה חשבונית.

סדרה חשבוניתהוכחהאיבר כללי

רמז: חשב את an-1 והפרש d = an - an-1 והראה שהוא קבוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: הסדרה היא סדרה חשבונית עם הפרש קבוע d=5.

נחשב את an-1: 5(n-1) - 8 = 5n - 5 - 8 = 5n - 13. הפרש הסדרה הוא: d = an - an-1 = (5n - 8) - (5n - 13) = 5. מאחר ולכל n ההפרש קבוע 5, הסדרה היא חשבונית.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

הוכחת סדרה חשבונית מהנוסחה an=5n-8

כיצד להוכיח שסדרה נתונה היא חשבונית באמצעות הוכחה כללית

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא להוכיח שהסדרה היא חשבונית.
נתון 1
נתון 1
הסדרה מוגדרת על ידי a_n = 5n - 8.
רעיון
הרעיון המרכזי
נציב את הנוסחה עבור a_n וגם a_{n-1}, ונחשב את ההפרש ביניהם כדי להראות שהוא קבוע.
נוסחה
מקבלים את הנוסחה הכללית של הסדרה.
a_n = 5n - 8
משוואה
נחליף n ב-n-1 ב-nוסחה של a_n.
נחליף n ב-n-1 ב-nוסחה של a_n.
a_(n-1) = 5*(n-1) - 8a_n-1 = 5(n-1) - 8
פישוט
d = a_n - a_{n-1} = (5n - 8) - (5n - 13) = 5.
d = a_n - a_{n-1} = (5n - 8) - (5n - 13) = 5.
d = (5n - 8) - (5n - 13) = 5
תוצאה
מסיימים בתשובה
לכן הסדרה היא סדרה חשבונית עם הפרש 5.
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם נכתב נכון a_{n-1} בהתאם ל-an?
- האם חושב ההפרש d בצורה נכונה?
- זהירות: הסתמכות על בדיקות פרטיות בלבד ללא הוכחה כללית

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הסדרה a_n = 5n - 8

מה עושים

מקבלים את הנוסחה הכללית של הסדרה.

למה

זו ההתחלה - מבטיחים על מה אנו עובדים.

הביטוי של האיבר הכללי הוא a_n = 5n - 8.

נוסחה / הצבה

a_n = 5n - 8

זוהי פונקציה לינארית בנעלם n.

בחירת שיטה

הוכחה של הפרש קבוע

מה עושים

נחשב את ההפרש d = a_n - a_{n-1}.

למה

הסדרה חשבונית אם ההפרש בין איברים סמוכים קבוע.

אם d קבוע, הסדרה היא חשבונית.

השתמש בהגדרה של סדרה חשבונית.

בניית משוואה

נכתב את a_{n-1}

מה עושים

נחליף n ב-n-1 ב-nוסחה של a_n.

למה

כדי לחשב את איבר הסדרה הקודם לאיבר ה-n.

a_{n-1} = 5(n-1) - 8 = 5n - 5 - 8 = 5n - 13.

נוסחה / הצבה

a_(n-1) = 5*(n-1) - 8a_n-1 = 5(n-1) - 8

החלף את n ב-n-1 בנוסחה.

פתרון

חשב את הפרש הסדרה d

מה עושים

d = a_n - a_{n-1} = (5n - 8) - (5n - 13) = 5.

למה

הפרש זה קובע אם הסדרה היא חשבונית.

ההפרש בין כל שני איברים סמוכים שווה ל-5.

נוסחה / הצבה

d = (5n - 8) - (5n - 13) = 5

בוצע פישוט כדי לקבל ערך קבוע.

תשובה

הסדרה היא חשבונית

מה עושים

לכן הסדרה היא סדרה חשבונית עם הפרש 5.

למה

כי ההפרש בין איברים סמוכים קבוע לכל n.

הוכחנו בצורה כללית שהסדרה היא חשבונית.

ההוכחה מתאימה לכל n טבעי.

פתרונות כלליים

הוכחה שסדרה נתונה היא חשבונית: נחשב את an-1: 5(n-1) - 8 = 5n - 5 - 8 = 5n - 13. הפרש הסדרה הוא: d = an - an-1 = (5n - 8) - (5n - 13) = 5. מאחר ולכל n ההפרש קבוע 5, הסדרה היא חשבונית.

הפריט הקודם הפריט הבא

א6. סדרה חשבונית פתרון תרגיל הוכחת סדרה חשבונית

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא להוכיח שהסדרה היא חשבונית.

נתון 1

הרעיון המרכזי

מקבלים את הנוסחה הכללית של הסדרה.

נחליף n ב-n-1 ב-nוסחה של a_n.

d = a_n - a_{n-1} = (5n - 8) - (5n - 13) = 5.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הסדרה a_n = 5n - 8

הוכחה של הפרש קבוע

נכתב את a_{n-1}

חשב את הפרש הסדרה d

הסדרה היא חשבונית

פתרונות כלליים