הסבר ופתרון תרגיל בסדרה חשבונית הכולל מציאת מספר האיברים כאשר נתונים האיבר הראשון, ההפרש וסכום הסדרה.
להבין כיצד להשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית
לזהות את מרכיבי הסדרה החשבונית: איבר ראשון, הפרש ומספר האיברים
לפשט משוואות ממעלה שנייה ולפרש את התוצאות מבחינה מתמטית
הכרת הנתונים בסדרה החשבונית: הבניית תרגיל שבו נתונות שלוש ערכים: האיבר הראשון, ההפרש והסכום הכולל של הסדרה.
פיתוח המשוואה עבור מספר האיברים: כתיבת משוואה שבה לא ידוע מספר האיברים, ושימוש בנוסחה מתאימה לחישוב הסכום.
פתרון וניתוח התוצאות: פתרון המשוואה המתקבלת ובחינת האם כל הפתרונות מתאימים מבחינה פרקטית לסדרה.

תרגול קצר

מציאת מספר האיברים בסדרה חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה חשבונית שהאיבר הראשון שלה הוא 18, הפרש הסדרה הוא מינוס 3, וסכום כל האיברים בסדרה הוא 60. מצא את מספר האיברים בסדרה.

סדרה חשבוניתנוסחת סכוםמשוואה ממעלה שנייה

רמז: השתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית, כתוב את הנוסחה במשתנה n ומצא את הפתרונות של המשוואה המתקבלת.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5 או 8

נגדיר n כמספר האיברים, כיוון שהאיבר הראשון a1=18, ההפרש d=-3, האיבר האחרון an = 18 + (n-1)*(-3) = 18 - 3n + 3 = 21 - 3n. נוסחת סכום הסדרה: S = n*(a1 + an)/2 60 = n * (18 + (21 - 3n)) / 2 60 = n * (39 - 3n)/2 120 = n*(39 - 3n) 120 = 39n - 3n^2 3n^2 - 39n + 120 = 0 נחלק ב-3: n^2 - 13n + 40 = 0 נפתור את המשוואה: Delta = 169 - 160 = 9 n = (13 ± 3)/2 n1 = 8 n2 = 5 לכן מספר האיברים יכול להיות 5 או 8 (שתי תשובות תקפות).

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל מספר האיברים בסדרה חשבונית

סדרה חשבונית עם איבר ראשון, הפרש וסכום נתונים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מספר האיברים n
נתון 1
נתון 1
האיבר הראשון a1=18
נתון 2
נתון 2
הפרש הסדרה d=-3
נתון 3
נתון 3
סכום הסדרה S=60
רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית, הצב את הנתונים, רשום משוואה במשתנה n ופתור אותה.
נוסחה
חשוב שהאיבר האחרון הוא an = a1 + (n - 1) * d
an = a1 + (n - 1) * dan = a1 + (n - 1)*da_n = a_1 + (n-1)d
משוואה
נכפיל ונפשט את משוואת הסכום
נכפיל ונפשט את משוואת הסכום
2S = n * (2 * a1 + (n - 1) * d)2S = n * (2a1 + (n-1) d)2S = n (2 a_1 + (n-1) d)
פישוט
סדר ונציב את כל האיברים כדי למצוא את n
סדר ונציב את כל האיברים כדי למצוא את n
3n^2 - 39n + 120 = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת נתוני התרגיל

מה עושים

רשום את a1=18, d=-3, S=60

למה

כדי לדעת מהם הנתונים שנשתמש בהם בהמשך, חשוב לקבוע את המשתנים.

נתונים בסיסיים של הסדרה.

בחירת שיטה

כתיבת נוסחת סכום הסדרה

מה עושים

השתמש בנוסחה S = n*(a1 + an)/2

למה

זו נוסחת חישוב סכום סדרה חשבונית מוכרת ופשוטה לשימוש.

בהמשך נחשב את an ונציב בנוסחה.

נוסחה / הצבה

S = n * (a1 + an) / 2S = n*(a1 + an)/2S = (n(a_1 + a_n))/(2)

אין צורך ב-LaTeX כדי להבין את הנוסחה.

בניית משוואה

הצבת האיבר האחרון בנוסחה

מה עושים

חשוב שהאיבר האחרון הוא an = a1 + (n - 1) * d

למה

מכיוון ש-an אינו ידוע, צריך לכתוב אותו כמשתנה תלוי ב-n.

נחליף את an בביטוי לפי n.

נוסחה / הצבה

an = a1 + (n - 1) * dan = a1 + (n - 1)*da_n = a_1 + (n-1)d

בניית משוואה

הרכבת המשוואה

מה עושים

נכפיל ונפשט את משוואת הסכום

למה

כדי לקבל משוואה ריבועית בנעלם n ולפתור אותה

נכפיל ב-2 ונפשט למקדם משוואה ריבועית.

נוסחה / הצבה

2S = n * (2 * a1 + (n - 1) * d)2S = n * (2a1 + (n-1) d)2S = n (2 a_1 + (n-1) d)

פתרון

פתרון המשוואה הריבועית

מה עושים

סדר ונציב את כל האיברים כדי למצוא את n

למה

פתרון המשוואה נותן את מספר האיברים האפשריים בסדרה

משתמשים בנוסחת שורשים עבור משוואה ריבועית

נוסחה / הצבה

3n^2 - 39n + 120 = 0

בדוק שורשים חיוביים בלבד.

תשובה

בחינת התשובות

מה עושים

יוצא ש-n = 5 או n = 8, שתי התשובות מתקבלות

למה

בשתי המקרים הסכום הוא 60, רק הסדרה היא בסדר שונה עקב ההפרש השלילי

ניתן לאמת על ידי חישוב סכום מיוחד לכל מקרה

שתי התשובות תקפות במצבים מיוחדים.

פתרונות כלליים

מציאת מספר האיברים בסדרה חשבונית: נגדיר n כמספר האיברים, כיוון שהאיבר הראשון a1=18, ההפרש d=-3, האיבר האחרון an = 18 + (n-1)*(-3) = 18 - 3n + 3 = 21 - 3n. נוסחת סכום הסדרה: S = n*(a1 + an)/2 60 = n * (18 + (21 - 3n)) / 2 60 = n * (39 - 3n)/2 120 = n*(39 - 3n) 120 = 39n - 3n^2 3n^2 - 39n + 120 = 0 נחלק ב-3: n^2 - 13n + 40 = 0 נפתור את המשוואה: Delta = 169 - 160 = 9 n = (13 ± 3)/2 n1 = 8 n2 = 5 לכן מספר האיברים יכול להיות 5 או 8 (שתי תשובות תקפות).

הפריט הקודם הפריט הבא

א14. סדרה חשבונית סכום סדרה פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מספר האיברים n

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

חשוב שהאיבר האחרון הוא an = a1 + (n - 1) * d

נכפיל ונפשט את משוואת הסכום

סדר ונציב את כל האיברים כדי למצוא את n

פתרון מפורט

הגדרת נתוני התרגיל

כתיבת נוסחת סכום הסדרה

הצבת האיבר האחרון בנוסחה

הרכבת המשוואה

פתרון המשוואה הריבועית

בחינת התשובות

פתרונות כלליים