שיעור המתמקד בהבנת מהי סדרה חשבונית, דרך בדיקה והוכחה של סדרה נתונה שמוגדרת על ידי a_n = 3n - 1. השיעור מדגיש את החשיבות של הוכחה כללית לעומת בדיקה בלבד.
להבין מהי סדרה חשבונית והגדרתה.
להבחין בין בדיקה להוכחה מתמטית.
לכתוב ולהשתמש בנוסחאות סדרות.
להוכיח שסדרה נתונה היא חשבונית באמצעות ההגדרה.
להכיר טעויות נפוצות בהסקות על סדרות.
הגדרת הסדרה והבדיקה הראשונית: הצגה של הסדרה a_n = 3n - 1 וביצוע בדיקה ראשונית באמצעות הצבת ערכי n שונים על מנת לבדוק אם ההפרשים בין האיברים קבועים.
הבדל בין בדיקה להוכחה: הבדיקה נותנת אינדיקציה אך לא מובהקת לכך שהסדרה חשבונית; יש לבצע הוכחה כללית המתבססת על ההגדרה המתמטית.
הוכחה שהסדרה היא חשבונית: ביצוע הוכחה על ידי חישוב ההפרש בין איברים עוקבים באמצעות הצבה בנוסחת ההגדרה של a_n, והרחבה כללית ל-n כלשהו.

תרגול קצר

הוכח שסדרה נתונה היא סדרה חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הסדרה שמוגדרת על ידי a_n = 3n - 1. הוכח שאכן זו סדרה חשבונית על פי ההגדרה.

סדרה חשבוניתהוכחהנוסחאות

רמז: חשב את a_n ו-a_{n-1} והראה שההפרש ביניהם קבוע ואינו תלוי ב-n.

פתרון מלא

תשובה סופית: הסדרה היא סדרה חשבונית עם הפרש קבוע d = 3.

לפי הגדרת הסדרה, a_n = 3n - 1. חישוב a_{n-1} = 3(n-1) -1 = 3n - 3 - 1 = 3n - 4. הפרש d = a_n - a_{n-1} = (3n - 1) - (3n - 4) = 3. ההפרש קבוע ולכן הסדרה היא חשבונית.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מפת פתרון להוכחת סדרה חשבונית

הוכחת סדרה חשבונית עבור a_n = 3n - 1

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא לגלות אם הסדרה היא סדרה חשבונית / לחשב את ההפרש d בין איברים עוקבים
נתון 1
נתון 1
a_n = 3n - 1
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את ההפרש d = a_n - a_{n-1} ולהראות שהוא קבוע ואינו תלוי ב-n.
נוסחה
הפרש בין a_n ו-a_{n-1} הוא d = a_n - a_{n-1}.
d = a_n - a_n-1
משוואה
הסדרה מוגדרת על ידי a_n = 3n - 1.
הסדרה מוגדרת על ידי a_n = 3n - 1.
פישוט
מכניסים את הביטויים שהתקבלו ומפשטים.
מכניסים את הביטויים שהתקבלו ומפשטים.
תוצאה
מסיימים בתשובה
מסקנה: ההפרש d קבוע.
בדיקה
בדיקה קצרה
- האם הוכחנו שההפרש אינו תלוי ב-n?
- האם חישבו את a_{n-1} נכון?
- זהירות: לקבל הסקה שקצב שינוי תלוי ב-n בגלל בדיקה של מספר איברים קטן בלבד.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הסדרה

מה עושים

הסדרה מוגדרת על ידי a_n = 3n - 1.

למה

מזהים את נוסחת האיבר הכללי.

נתונה נוסחה שמגדירה כל איבר בסדרה לפי אינדקס n.

זיהוי נתונים

הגדרת a_{n-1}

מה עושים

מציבים n-1 במקום n בנוסחת a_n.

למה

כדי לחשב את האיבר הקודם בסדרה.

חשבנו: a_{n-1} = 3(n-1) - 1 = 3n - 4.

בניית משוואה

חישוב ההפרש d

מה עושים

הפרש בין a_n ו-a_{n-1} הוא d = a_n - a_{n-1}.

למה

זו ההגדרה של הפרש סדרה חשבונית.

הפרש בין איברים עוקבים הוא ההפרש הקבוע בדוגמה זו.

נוסחה / הצבה

d = a_n - a_n-1

פתרון

פישוט ההפרש

מה עושים

מכניסים את הביטויים שהתקבלו ומפשטים.

למה

כדי להבין אם ההפרש תלוי ב-n או קבוע.

d = (3n - 1) - (3n - 4) = 3.

יש לשים לב לסידור הסוגריים ומינוסים.

תשובה

מסקנת ההוכחה

מה עושים

מסקנה: ההפרש d קבוע.

למה

מכיוון ש-d הוא 3 ואינו תלוי ב-n, הסדרה היא חשבונית.

ההפרש בין איברי הסדרה קבוע ולכן הסדרה היא סדרה חשבונית.

פתרונות כלליים

הוכח שסדרה נתונה היא סדרה חשבונית: לפי הגדרת הסדרה, a_n = 3n - 1. חישוב a_{n-1} = 3(n-1) -1 = 3n - 3 - 1 = 3n - 4. הפרש d = a_n - a_{n-1} = (3n - 1) - (3n - 4) = 3. ההפרש קבוע ולכן הסדרה היא חשבונית.

הפריט הקודם הפריט הבא

א21. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא לגלות אם הסדרה היא סדרה חשבונית / לחשב את ההפרש d בין איברים עוקבים

נתון 1

הרעיון המרכזי

הפרש בין a_n ו-a_{n-1} הוא d = a_n - a_{n-1}.

הסדרה מוגדרת על ידי a_n = 3n - 1.

מכניסים את הביטויים שהתקבלו ומפשטים.

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הגדרת הסדרה

הגדרת a_{n-1}

חישוב ההפרש d

פישוט ההפרש

מסקנת ההוכחה

פתרונות כלליים