MMATH
התחברות

וידאו · סדרות

א27. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
22 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א23. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

וידאו

א24. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

וידאו

א25. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

וידאו

א26. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

וידאו

א27. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

וידאו

א28. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

וידאו

ב1. סדרה הנדסית הגדרות

וידאו

ב2. סדרה הנדסית הגדרות

וידאו

ב3. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב4. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב5. סדרה הנדסית פתרון תרגיל הוכחת סדרה הנדסית

וידאו

ב6. סדרה הנדסית פתרון תרגיל שלושה איברים סמוכים

וידאו

ב7. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

וידאו

ב8. סדרה הנדסית פתרון תרגיל בעייה מציאותית

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בפתרון תרגילים בסדרות חשבוניות, בדגש על חישוב סכומי איברים ראשונים ואחרונים, שימוש בנוסחאות לסכום סדרה והבנת נקודות חשובות בהצבת אינדקסים באיברי הסדרה.
  • הבנת מושגי יסוד בסדרות חשבוניות: איבר ראשון, d, מספר האיברים
  • חישוב סכום n האיברים הראשונים בסדרה חשבונית
  • חישוב סכום n האיברים האחרונים בסדרה בשימוש בנוסחה מיוחדת לסכימה מהסוף
  • הבנת חשיבות הספירה המדויקת של איברים בסדרה (למשל, מדוע להתחיל מ-A16 ולא מ-A15 ב-15 האיברים האחרונים)
  • שימוש וישום נוסחאות סכום סדרה במצבים מגוונים ולא שגרתיים
  • הקדמה לנושא הסכומים בסדרה חשבונית: הסבר על מציאת איברים בסדרה חשבונית ושימוש בנוסחאות שונות לסכום איברים. התייחסות לשאלות טיפוסיות בבגרות כגון סכום האיברים הראשונים והאחרונים.
  • חישוב סכום n האיברים הראשונים: הצגת הדרך לחישוב סכום 20 האיברים הראשונים, תוך שמירת פרטים על מה בדיוק מסכמים.
  • חישוב סכום האיברים האחרונים: הסבר על איך לחשב סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה של 30 איברים, עם דגש על מיקום האיבר ההתחלתי.
  • נוסחה לסכימה מהסוף: הצגת נוסחה המאפשרת חישוב סכום n איברים מהסוף, תוך שימוש ב-an ו-d בגישה הפוכה.

תרגול קצר

חישוב סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר הראשון 3 והפרש d=2. חשבו את סכום 10 האיברים הראשונים.

סדרה חשבוניתסכום סדרהאיברים ראשונים

רמז: השתמש בנוסחה סכום n איברים ראשונים: Sn = n/2*(a1 + an), חשב קודם את a10 באמצעות a10 = a1 +(10-1)d.

פתרון מלא

תשובה סופית: 120

הפעל את הנוסחה: a10 = 3 + (10-1)*2 = 3 + 18 = 21; סכום = 10/2 * (3+21) = 5*24 = 120.

סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בסדרה חשבונית עם a1=2, d=3 ו-30 איברים, חשבו את סכום 15 האיברים האחרונים.

סדרה חשבוניתסכום סדרהאיברים אחרונים

רמז: חשבו את האיבר ההתחלתי בסכום זה (a16) בעזרת an = a1 + (n-1)d, ולאחר מכן השתמשו בנוסחה לסכום איברים מהסוף.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1020

a16 = 2 + (16-1)*3 = 2 + 45 = 47; a30 = 2 + 29*3 = 2 + 87 = 89 ; סכום = 15/2 * (a16 + a30) = 7.5*(47 + 89) = 7.5*136 = 1020.

השוואה בין סכומי האיברים הראשונים והאחרונים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בסדרה חשבונית עם a1=4 ו-d=5, יש 40 איברים. חשבו והשוו בין סכום 25 האיברים הראשונים לסכום 15 האיברים האחרונים.

סדרה חשבוניתהשוואהסכום סדרה

רמז: השתמש בנוסחאות לסכום איברים ראשונים ולאחרים. זכר להתחיל את האיברים האחרונים מ-a26.

פתרון מלא

תשובה סופית: סכום 25 הראשונים=1600, סכום 15 האחרונים=2460

a25 = 4 + (25-1)*5 = 4 + 120 = 124; סכום 25 הראשונים = 25/2 * (4+124) = 12.5*128 = 1600. a26 = 4 + (26-1)*5 = 4 + 125 = 129; a40 = 4 + 39*5 = 4 + 195 = 199; סכום 15 האחרונים = 15/2 * (129+199) = 7.5*328 = 2460. סכום האיברים האחרונים גדול יותר מהראשונים.

בגרות – חישוב סכום תת-סדרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

בסדרה חשבונית עם a1=7, d=4, יש 35 איברים. חשבו את סכום 18 האיברים הראשונים ואת סכום 17 האיברים האחרונים. כתבו את הסכום הכולל והסבירו את מיקום תחילת האיברים האחרונים.

סדרה חשבוניתבגרותסכום סדרהאיברים אחרונים

רמז: השתמשו בנוסחה לסכום האיברים הראשונים וחישבו a18, לחישוב האיברים האחרונים חשבו תחילה את a19 ואחר כך את a35.

פתרון מלא

תשובה סופית: סכום 18 הראשונים=738, סכום 17 האחרונים=1887, סכום כולל=2625

a18=7+(18-1)*4=7+68=75; סכום 18 הראשונים= 18/2*(7+75)=9*82=738. a19=7+(19-1)*4=7+72=79; a35=7+(35-1)*4=7+136=143; סכום 17 האחרונים=17/2*(79+143)=8.5*222=1887. הסכום הכולל=738+1887=2625. האיברים האחרונים מתחילים מ-a19, כי 35-17+1=19.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל סכום איברים בסדרה חשבונית

חישוב סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה של 30 איברים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה

  2. נתון 1

    נתון 1

    a1 = 2
  3. נתון 2

    נתון 2

    d = 3
  4. נתון 3

    נתון 3

    מספר האיברים הכולל N = 30
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נחשב את תחילת 15 האיברים האחרונים (a16), ואז נשתמש בנוסחה לסכום n איברים בסדרה חשבונית.

  6. נוסחה

    Sn = n/2 * (a16 + a30)

    Sn = n/2 * (a_start + a_end)S_n = (n)/(2) (a_start + a_end)
  7. משוואה

    לחשב a16 = a1 + (16-1)d

    לחשב a16 = a1 + (16-1)d

    a16 = a1 + 15 * da16 = a1 + (16-1) * da_16 = a_1 + 15 d
  8. פישוט

    לחשב a30 = a1 + (30-1)d

    לחשב a30 = a1 + (30-1)d

    a30 = a1 + 29 * da30 = a1 + (30-1) * d

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים ראשוניים

מה עושים

נתונים ידועים: a1=2, d=3, N=30, n=15

למה

חשוב להגדיר מה יש לנו ומה רוצים למצוא

מספר האיברים הכולל בסדרה הוא 30, רוצים לסכם את 15 האיברים האחרונים

2

בחירת שיטה

זיהוי תחילת האיברים לסכום

מה עושים

תחילת האיברים של הסכום היא האיבר ה-16 (a16)

למה

כדי שסכום ה-15 האיברים האחרונים יהיה מדויק, ספירה צריכה להיות נכונה

נזכור שסופר כולל את האיבר ההתחלתי, ולכן מתחילים מ-a16 ולא מ-a15

אחרי ההבנה הזו נמנע טעויות לוגיות

3

בניית משוואה

חישוב a16

מה עושים

לחשב a16 = a1 + (16-1)d

למה

צריך לדעת מה ערכו של האיבר ה-16 בסדרה

a16 = 2 + 15 * 3 = 47

נוסחה / הצבה

a16 = a1 + 15 * da16 = a1 + (16-1) * da_16 = a_1 + 15 d

השתמש בנוסחת האיבר ה-n

4

בניית משוואה

חישוב a30

מה עושים

לחשב a30 = a1 + (30-1)d

למה

האיבר ה-30 הוא האיבר האחרון בסדרה

a30 = 2 + 29 * 3 = 89

נוסחה / הצבה

a30 = a1 + 29 * da30 = a1 + (30-1) * da_30 = a_1 + 29 d

זכור: אחרי חישוב תחילת הסכום חשוב לדעת את האיבר הסופי

5

בניית משוואה

נוסחה לסכום 15 האיברים האחרונים

מה עושים

Sn = n/2 * (a16 + a30)

למה

נוסחת סכום סדרה חשבונית: סכום n איברים מהתחלה ועד סוף

סכום 15 האיברים הוא Sn = 15/2 * (47 + 89)

נוסחה / הצבה

Sn = n/2 * (a_start + a_end)S_n = (n)/(2) (a_start + a_end)

נוסחת סכום לסדרה חשבונית שימושית למצבים שונים

6

פתרון

חישוב הסכום הסופי

מה עושים

חשב את סכום 15 האיברים: 15/2 * 136 = 7.5 * 136 = 1020

למה

סכום אלו האיברים המבוקשים בתרגיל

התוצאה היא 1020

וודא ביצוע חישוב נכון

פתרונות כלליים

  • חישוב סכום 10 האיברים הראשונים בסדרה: הפעל את הנוסחה: a10 = 3 + (10-1)*2 = 3 + 18 = 21; סכום = 10/2 * (3+21) = 5*24 = 120.
  • סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה: a16 = 2 + (16-1)*3 = 2 + 45 = 47; a30 = 2 + 29*3 = 2 + 87 = 89 ; סכום = 15/2 * (a16 + a30) = 7.5*(47 + 89) = 7.5*136 = 1020.
  • השוואה בין סכומי האיברים הראשונים והאחרונים: a25 = 4 + (25-1)*5 = 4 + 120 = 124; סכום 25 הראשונים = 25/2 * (4+124) = 12.5*128 = 1600. a26 = 4 + (26-1)*5 = 4 + 125 = 129; a40 = 4 + 39*5 = 4 + 195 = 199; סכום 15 האחרונים = 15/2 * (129+199) = 7.5*328 = 2460. סכום האיברים האחרונים גדול יותר מהראשונים.
  • בגרות – חישוב סכום תת-סדרה: a18=7+(18-1)*4=7+68=75; סכום 18 הראשונים= 18/2*(7+75)=9*82=738. a19=7+(19-1)*4=7+72=79; a35=7+(35-1)*4=7+136=143; סכום 17 האחרונים=17/2*(79+143)=8.5*222=1887. הסכום הכולל=738+1887=2625. האיברים האחרונים מתחילים מ-a19, כי 35-17+1=19.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.