השיעור עוסק בפתרון תרגיל בסדרה הנדסית שבו יש להכניס מספרים בין שני איברים ידועים כך שכל האיברים יהיו בסדרה הנדסית. נלמד כיצד לזהות את המנה, להבחין בסוגי סדרות שונות (עולה ומקפצת) ולחשב את האיברים החסרים.
להבין מהי סדרה הנדסית
לזהות את המנה של סדרה הנדסית
לחשב איברים חסרים בסדרה הנדסית
להבחין בין סדרה עולה לסדרה מקפצת (בלתי עולה ובלתי יורדת)
לתרגל בדיקה עצמית בחישובים
הצגת הבעיה: הבהרה שיש להכניס שלושה מספרים בין 2 ל-162 כך שנקבל סדרה הנדסית בת חמישה איברים.
הגדרת משתנים ונוסחאות: הסבר על ביטוי האיבר הכללי בסדרה הנדסית ועל הקשר בין איברים שונים בסדרה דרך המנה.
חישוב המנה ואיפיון הסדרה: חישוב המנה עם שורש רביעי של 81 שנותן 3 או -3, והמשמעות של כל אחד מהם מבחינת התנהגות הסדרה.
בדיקת האיברים: חישוב האיברים לפי כל מנה ובדיקת נכונות הסדרה שהתקבלה.

תרגול קצר

הכנסת מספרים לסדרה הנדסית בין 2 ל-162

רמת קושי: קל

ממתין

בין מספרי 2 ל-162 הכנס שלושה מספרים כך שכל חמשת האיברים יהיו בסדרה הנדסית. מצא את המנה ואת המספרים החסרים כאשר הסדרה עולה, וכאשר היא לא עולה ולא יורדת.

סדרותסדרה הנדסיתחישוב איבריםמנהמספרים חסרים

רמז: השתמש בנוסחה לאיבר הכללי a_n = a_1 * q^{n-1} והכנס את הנתונים הידועים לאיבר הראשון והחמישי. פתר את המשוואה עבור q.

פתרון מלא

תשובה סופית: המנות הן 3 ו-(-3). האיברים לחישוב ראשון הם 2, 6, 18, 54, 162 (עולה) ולחישוב שני 2, -6, 18, -54, 162 (מקפצת).

נתון a1=2, a5=162. לפי נוסחת הסדרה ההנדסית: a5 = a1 * q^{4}. 162 = 2 * q^{4} => q^{4} = 81 שורש רביעי של 81 הוא +3 או -3. אם q=3: סדרה עולה: האיברים הם 2, 6, 18, 54, 162. אם q=-3: סדרה מקפצת: האיברים הם 2, -6, 18, -54, 162.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל סדרה הנדסית בין 2 ל-162

מציאת המנה והמספרים החסרים בסדרה הנדסית הניתנת

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מצא את המנה q של הסדרה / מצא את שלושת האיברים החסרים
נתון 1
נתון 1
a1=2 (האיבר הראשון)
נתון 2
נתון 2
a5=162 (האיבר החמישי)
רעיון
הרעיון המרכזי
השתמש בנוסחה לאיבר הכללי בסדרה הנדסית ופתור משוואה עבור המנה q.
נוסחה
נציב את הערכים הידועים ונקבל 162 = 2 * q^4
q^4 = 162 / 2q^(4) = 162 / 2q^(4) = (162)/(2)
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
מצא q על ידי חישוב השורש הרביעי של 81
מצא q על ידי חישוב השורש הרביעי של 81
תוצאה
מסיימים בתשובה
בדוק האם הסדרה עולה או מקפצת בהתאם למנה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת נתוני הבעיה

מה עושים

יודעים את האיבר הראשון והחמישי בסדרה

למה

השורש הרביעי של יחס האיברים נותן את המנה

a1=2, a5=162

בחירת שיטה

הגדרת המשוואה למנה

מה עושים

השתמש בנוסחה a5 = a1 * q^4

למה

מכיוון שמדובר באיבר החמישי, החזקה היא 4

נבנה משוואה עם המשתנה q

נוסחה / הצבה

a5 = a1 * q^4a5 = a1 * q^(4)a_5 = a_1 * q^(4)

בניית משוואה

פתיחת המשוואה

מה עושים

נציב את הערכים הידועים ונקבל 162 = 2 * q^4

למה

כדי למצוא את q יש לפתור משוואה זו

נבודד את q^4

נוסחה / הצבה

q^4 = 162 / 2q^(4) = 162 / 2q^(4) = (162)/(2)

פתרון

חישוב שורש q

מה עושים

מצא q על ידי חישוב השורש הרביעי של 81

למה

שורש רביעי של מספר נותן את הערכים האפשריים למנה

q = ±3

יש לקחת גם את הערך השלילי בגלל שורש מסדר זוגי

פתרון

חישוב האיברים

מה עושים

חשב את האיברים החסרים לכל אחת מהמנות

למה

כדי לבדוק סוג הסדרה

עם q=3: 2,6,18,54,162; עם q=-3: 2,-6,18,-54,162

בדיקה

בדיקת הסדרה

מה עושים

בדוק האם הסדרה עולה או מקפצת בהתאם למנה

למה

להבין את סוג הסדרה והגדרה מדויקת שלה

q=3 סדרה עולה, q=-3 סדרה מקפצת שאינה עולה ואינה יורדת

שימו לב לסימנים של האיברים

פתרונות כלליים

הכנסת מספרים לסדרה הנדסית בין 2 ל-162: נתון a1=2, a5=162. לפי נוסחת הסדרה ההנדסית: a5 = a1 * q^{4}. 162 = 2 * q^{4} => q^{4} = 81 שורש רביעי של 81 הוא +3 או -3. אם q=3: סדרה עולה: האיברים הם 2, 6, 18, 54, 162. אם q=-3: סדרה מקפצת: האיברים הם 2, -6, 18, -54, 162.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב4. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מצא את המנה q של הסדרה / מצא את שלושת האיברים החסרים

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נציב את הערכים הידועים ונקבל 162 = 2 * q^4

נבנה משוואה

מצא q על ידי חישוב השורש הרביעי של 81

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת נתוני הבעיה

הגדרת המשוואה למנה

פתיחת המשוואה

חישוב שורש q

חישוב האיברים

בדיקת הסדרה

פתרונות כלליים