שיעור לפתרון תרגיל בסדרה חשבונית: נתונה סדרה עם איבר ראשון ושינוי קבוע, מחשבים את מספר האיברים החיוביים והאיבר החיובי הקטן ביותר.
להבין את משמעות הפרמטרים בסדרה חשבונית (a1, d)
לחשב את מספר האיברים החיוביים בסדרה חשבונית
למצוא את האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה
ליישם את הביטוי של סדרה חשבונית לפתרון בעיות מעשיות
נתוני הסדרה החשבונית: הסדרה מתחילה באיבר a1=122 והפרש קבוע d=-3 (מינוס 3 לא -7 כפי שהוזכר בטעות). בפרק זה מנותחים הנתונים הבסיסיים לפתרון.
שאלות נדרשות בפתרון: נדרש למצוא כמה איברים של הסדרה חיוביים ומהו האיבר החיובי האחרון (הקטן ביותר אך חיובי).

תרגול קצר

מספר האיברים החיוביים בסדרה חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הסדרה 122, 119, 116, ... מהו מספר האיברים החיוביים בסדרה?

סדרה חשבוניתאיבר כללימספר איברים חיוביים

רמז: השתמש בנוסחה של האיבר הכללי ונמצא איפה האיבר הופך לשלילי או אפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: 41

האיבר הכללי הוא a_n = 122 + (n-1)(-3) = 122 - 3(n-1) = 125 - 3n. כדי שהאיבר יהיה חיובי: 125 - 3n > 0 125 > 3n n < 125/3 ≈ 41.66. לכן מספר האיברים החיוביים הוא 41.

האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

מהו האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה 122, 119, 116, ...?

סדרה חשבוניתאיבר כלליאיבר חיובי קטן ביותר

רמז: האיבר החיובי הקטן ביותר הוא האיבר ה-41, לפי התרגיל הקודם.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2

a_41 = 122 + (41-1)(-3) = 122 - 3×40 = 122 - 120 = 2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון: מספר האיברים החיוביים בסדרה חשבונית

דוגמה עם הסדרה 122, 119, 116, ...

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מספר האיברים החיוביים בסדרה
נתון 1
נתון 1
a1 = 122
נתון 2
נתון 2
d = -3
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בנוסחה לאיבר הכללי ונחשב עד מתי האיבר חיובי.
נוסחה
a_n > 0
a1 + (n - 1) × d > 0a_1 + (n-1)d > 0
משוואה
נבנה משוואה
מציבים את הנתונים במשוואה.
פישוט
הצבת ערכים ופתרון עבור n
הצבת ערכים ופתרון עבור n
125 - 3n > 0n < 41.66
תוצאה
מסיימים בתשובה
d = -3

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

האיבר הראשון

מה עושים

a1 = 122

למה

נתון בבעיה, מתחילים ממנו.

הסדרה מתחילה מאיבר 122.

זכור סימון של האיבר הראשון.

זיהוי נתונים

הפרש הסדרה

מה עושים

d = -3

למה

הפרש קבוע בין האיברים.

כל איבר קטן ב-3 מהאיבר הקודם.

שים לב שהפרש שלילי – הסדרה יורדת.

בחירת שיטה

איבר כללי

מה עושים

נשתמש בנוסחה a_n = a1 + (n-1)d

למה

מחשבת ערך האיבר ה-n

ננסח ביטוי לאיבר ה-n כדי למצוא מתי הוא עדיין חיובי.

נוסחה / הצבה

a_n = a1 + (n - 1) × da_n = a_1 + (n-1)d

הכרת נוסחה זו מאוד חשובה.

בניית משוואה

מציאת תנאי חיוביות

מה עושים

a_n > 0

למה

רק איברים חיוביים מעניינים אותנו.

נשים את הביטוי של a_n מהנוסחה ונבטא את אי השוויון:

נוסחה / הצבה

a1 + (n - 1) × d > 0a_1 + (n-1)d > 0

נציב ערכים במקום a1 ו-d.

פתרון

פתרון אי השוויון

מה עושים

הצבת ערכים ופתרון עבור n

למה

כדי למצוא עד איזה n יש איבר חיובי.

הצבת a1=122 ו d=-3 נותנת: 122 - 3(n-1) > 0 פישוט: 125 - 3n > 0 השוואה: n < 125/3 ≈ 41.66 מספר האיברים החיוביים הוא 41.

נוסחה / הצבה

125 - 3n > 0n < 41.66

n חייב להיות שלם וחיובי.

פתרונות כלליים

מספר האיברים החיוביים בסדרה חשבונית: האיבר הכללי הוא a_n = 122 + (n-1)(-3) = 122 - 3(n-1) = 125 - 3n. כדי שהאיבר יהיה חיובי: 125 - 3n > 0 125 > 3n n < 125/3 ≈ 41.66. לכן מספר האיברים החיוביים הוא 41.
האיבר החיובי הקטן ביותר בסדרה: a_41 = 122 + (41-1)(-3) = 122 - 3×40 = 122 - 120 = 2.

הפריט הקודם הפריט הבא

א11. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מספר האיברים החיוביים בסדרה

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

a_n > 0

נבנה משוואה

הצבת ערכים ופתרון עבור n

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

האיבר הראשון

הפרש הסדרה

איבר כללי

מציאת תנאי חיוביות

פתרון אי השוויון

פתרונות כלליים