שיעור זה עוסק בניתוח ופתרון תרגיל בסדרה חשבונית בעייתית בעולם המציאותי. נלמד כיצד לתרגם בעיה מילולית לרצף של תכונות סדרתיות וכיצד לייצג ולפתור אותה באופן אלגברי.
להבין סדרה חשבונית והפרשי המרחק בין איבריה
לתרגם בעיה מילולית לסדרה חשבונית
לכתוב משוואות המייצגות תנאים במערכת
לפתור משוואה ולקבל את האיבר הראשון ואת ההפרש בסדרה
הגדרת הבעיה ומושגי יסוד: הצגנו בעיה שבה כל שעה רכונית נוסעת 5 קילומטרים יותר מהשעה שקדמה לה. הגדרנו כי a1 מייצג את המרחק בשעה הראשונה, a2 בשנייה וכו'.
תרגום תנאי הבעיה למשוואות: המרחק בשעה הראשונה קטן פי שניים מהמרחק בשעה העשירית, תנאי זה ינוסח במשוואה. נשתמש בנוסחאות לסדרה חשבונית.

תרגול קצר

תרגול זיהוי סדרה חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

רכונית נוסעת בכל שעה 5 קילומטרים יותר מהשעה שקדמה לה. המרחק בשעה הראשונה הוא a1. כתוב את הנוסחה לאיבר ה-n בסדרה.

סדרה חשבוניתנוסחה

רמז: השתמש בנוסחה של סדרה חשבונית: a_n = a_1 + (n-1)d

פתרון מלא

תשובה סופית: a_n = a_1 + 5(n-1)

a_n = a_1 + (n-1) * 5

פתרון משוואה לפער בין איברים

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם המרחק בשעה הראשונה הוא חצי מהמרחק בשעה העשירית, ומדובר בסדרה חשבונית עם הפרש 5, מצא את a_1.

סדרה חשבוניתפתרון משוואות

רמז: השתמש בנוסחה a_10 = a_1 + 9*5 והמשוואה a_1 = 1/2 a_10

פתרון מלא

תשובה סופית: 45 ק"מ

נכתב: a_1 = 1/2 (a_1 + 45) כעת נפשט ונפתור: 2a_1 = a_1 + 45 a_1 = 45 ק"מ

חישוב מרחק בשעה חמש עשרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חשב את המרחק שהרכונית עברה בשעה ה-15 בהתבסס על a_1 והפרש 5, עם a_1 מחושב בשאלה הקודמת.

סדרה חשבוניתחישוב איבר

רמז: השתמש בנוסחה a_n = a_1 + (n-1)d

פתרון מלא

תשובה סופית: 115 ק"מ

a_{15} = 45 + (15-1)*5 = 45 + 70 = 115 ק"מ

סדרה חשבונית - בעיית מרחק

רמת קושי: בגרות

ממתין

רכונית נוסעת כך שבכל שעה המרחק גדול ב-5 קילומטרים מהשעה הקודמת. ידוע שהמרחק בשעה הראשונה הוא חצי מהמרחק בשעה העשירית. מצא את המרחק שעברה הרכונית בשעה ה-15.

סדרה חשבוניתפתרון בעיות מילוליות

רמז: 1. כתוב נוסחה לאיבר ה-n 2. נשתמש בתנאי היחס בין a1 ל a10 3. נמצא את a1 4. נחשב a15

פתרון מלא

תשובה סופית: 115 ק"מ

a_10 = a_1 + 9*5 מתנאי היחס: a_1 = 1/2 a_10 a_1 = 1/2 (a_1 + 45) 2a_1 = a_1 + 45 a_1 = 45 ק"מ לכן: a_{15} = 45 + 14*5 = 45 + 70 = 115 ק"מ

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בעיית מרחק בסדרה חשבונית

חישוב המרחק שעברה רכונית לפי שעה בעזרת סדרה חשבונית

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא המרחק שעברה הרכונית בשעה הראשונה a1
נתון 1
נתון 1
הפרש בסדרה d = 5 ק"מ
נתון 2
המרחק בשעה הראשונה a1
נתון 3
נתון 3
a1 = חצי מהמרחק בשעה העשירית
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בנוסחה לאיבר כללי בסדרה חשבונית וננצל את יחס המרחק בין השעה הראשונה לעשירית לכתיבת משוואה
נוסחה
a_1 = 1/2 * (a_1 + 9*5)
a_1 = 1/2 (a_1 + 9 x 5)a_1 = 1/2 (a_1 + 9*5)a_1 = (1)/(2)(a_1 + 9 x 5)
משוואה
2a_1 = a_1 + 45
2a_1 = a_1 + 45
2 a_1 = a_1 + 452a_1 = a_1 + 45
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הפרש בין כל שתי שעות עוקבות

מה עושים

d = 5 ק"מ

למה

הרכונית נוסעת 5 ק"מ יותר כל שעה.

המרחק גדל לפי הפרש קבוע, לכן זו סדרה חשבונית.

הפרש קבוע בין איברי הסדרה הוא מפתח לזיהוי סדרה חשבונית.

זיהוי נתונים

יחס בין המרחק בשעות 1 ו-10

מה עושים

a1 = חצי מ-a10

למה

תנאי הבעיה מציין שקיים יחס זה.

המרחק בשעה הראשונה קטן פי שתיים מהמרחק בשעה העשירית.

חשוב להמיר משפט מילולי ליחס מתמטי ברור.

בחירת שיטה

שימוש בנוסחה לאיבר כללי

מה עושים

נכתוב a_n = a1 + (n-1)d

למה

זוהי נוסחת הסדרה החשבונית המגדירה כל איבר.

נשתמש בנוסחה כדי להחליף את a10.

נוסחה / הצבה

a_n = a_1 + (n-1) da_n = a_1 + (n-1)d

להכיר את הנוסחה הבסיסית לסדרה חשבונית.

בניית משוואה

ייצוג היחס באמצעות הנוסחה

מה עושים

a_1 = 1/2 * (a_1 + 9*5)

למה

a10 הוא a1 + 9 כפול ההפרש 5

מחליפים a10 בנוסחת הסדרה ומייצרים משוואה לפתרון a1.

נוסחה / הצבה

a_1 = 1/2 (a_1 + 9 x 5)a_1 = 1/2 (a_1 + 9*5)a_1 = (1)/(2)(a_1 + 9 x 5)

להקפיד לפתור משוואה עם נעלמים משני הצדדים.

פתרון

פתור את המשוואה

מה עושים

2a_1 = a_1 + 45

למה

כפול שני צדדים ב-2 להסיר השבר

מבודדים את a1 לקבלת הערך שלה.

נוסחה / הצבה

2 a_1 = a_1 + 452a_1 = a_1 + 45

להעביר אגפים ולהשוות פתרון.

תשובה

מצא את a1

מה עושים

a_1 = 45 ק"מ

למה

זוהי התוצאה המתקבלת מהמשוואה

הרכונית עברה 45 ק"מ בשעה הראשונה.

להזכיר כי זו התשובה לשאלה.

פתרונות כלליים

תרגול זיהוי סדרה חשבונית: a_n = a_1 + (n-1) * 5
פתרון משוואה לפער בין איברים: נכתב: a_1 = 1/2 (a_1 + 45) כעת נפשט ונפתור: 2a_1 = a_1 + 45 a_1 = 45 ק"מ
חישוב מרחק בשעה חמש עשרה: a_{15} = 45 + (15-1)*5 = 45 + 70 = 115 ק"מ
סדרה חשבונית - בעיית מרחק: a_10 = a_1 + 9*5 מתנאי היחס: a_1 = 1/2 a_10 a_1 = 1/2 (a_1 + 45) 2a_1 = a_1 + 45 a_1 = 45 ק"מ לכן: a_{15} = 45 + 14*5 = 45 + 70 = 115 ק"מ

הפריט הקודם הפריט הבא

א8. סדרה חשבונית פתרון תרגיל בעייה מציאותית

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא המרחק שעברה הרכונית בשעה הראשונה a1

נתון 1

המרחק בשעה הראשונה a1

נתון 3

הרעיון המרכזי

a_1 = 1/2 * (a_1 + 9*5)

2a_1 = a_1 + 45

מפשטים

פתרון מפורט

הפרש בין כל שתי שעות עוקבות

יחס בין המרחק בשעות 1 ו-10

שימוש בנוסחה לאיבר כללי

ייצוג היחס באמצעות הנוסחה

פתור את המשוואה

מצא את a1

פתרונות כלליים