שיעור המתמקד במציאת נוסחה לסכום סדרה חשבונית נתונה, תוך התמודדות עם חוסר מידע לגבי מספר האיברים בסדרה.
להבין מהי סדרה חשבונית
לזהות איברים בסדרה חשבונית
למצוא נוסחה לסכום סדרה חשבונית
לדעת לפתור תרגילים הכוללים סדרות חשבוניות גם כאשר חסרים נתונים
היכרות עם הסדרה החשבונית: נלמד סדרה חשבונית עם האיברים הראשונים 1, 5, 9 ונבין את התכונות שלה.
חוסר מידע וכיצד לגשת לפתרון: נתמודד עם הבעיה שבה אינו ידוע מספר האיברים בסדרה ונמצא דרכים לגשת לנוסחה לסכום הסדרה.
נוסחה לסכום סדרה חשבונית: נציג ונבין את הנוסחה לסכום סדרה חשבונית וניישם אותה על הסדרה הנתונה.

תרגול קצר

מציאת נוסחה לסכום סדרה חשבונית לא מלאה

רמת קושי: קל

ממתין

יש סדרה חשבונית שהאיברים הראשונים הם 1, 5, 9. מצא נוסחה כללית לסכום n האיברים הראשונים בסדרה.

סדרה חשבוניתסכום סדרהנוסחה כללית

רמז: חשוב להציב את הערכים של a1 והפרש d בנוסחה לאיבר הכללי של הסדרה החשבונית, ולאחר מכן להשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית.

פתרון מלא

תשובה סופית: S = 2n² - n

הפרש הסדרה הוא d = 5 - 1 = 4. האיבר הראשון a1 = 1. האיבר ה-n בסדרה הוא an = a1 + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3. נוסחת סכום n האיברים הראשונים היא S = n/2 × (a1 + an) = n/2 × (1 + 4n - 3) = n/2 × (4n - 2) = 2n^2 - n.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד למצוא נוסחה לסכום סדרה חשבונית

סדרה: 1, 5, 9,...

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נוסחה כללית לסכום n האיברים הראשונים בסדרה, S(n)
נתון 1
סדרה חשבונית עם האיברים הראשונים: 1, 5, 9
נתון 2
נתון 2
איבר ראשון a1 = 1
נתון 3
נתון 3
הפרש קבוע d = 4 (5-1)
רעיון
הרעיון המרכזי
נמצא את איבר הסדרה ה-n באמצעות הנוסחה הכללית ואז נשתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית לניסוח סכום
נוסחה
נשתמש בנוסחה S = n/2 × (a1 + an) לסכום הסדרה
S = n/2 × (a1 + an)S = (n/2)(a1 + an)S = (n)/(2) (a_1 + a_n)
משוואה
נכניס את an ונפשט ל-S ביטוי פולינומי של n
נכניס את an ונפשט ל-S ביטוי פולינומי של n
S = 2 n^2 - nS = 2n^2 - n
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הכרת נתוני הבעיה

מה עושים

נסמן את האיבר הראשון a1=1 ואת הפרש הסדרה d=4

למה

הפרש קבוע הוא מפתח לזיהוי סדרה חשבונית

איבר ראשון a1=1, הפרש d=5-1=4

בחירת שיטה

מציאת איבר סידרת n-ה

מה עושים

נמצא את האיבר ה-n באמצעות הנוסחה an = a1 + (n-1)d

למה

זה מאפשר לנו לדעת את האיבר האחרון לצורך חישוב הסכום

נחשב an לפי הנוסחה הכללית לסדרה חשבונית

נוסחה / הצבה

an = a1 + (n - 1) dan = a1 + (n - 1)da_n = a_1 + (n - 1)d

שימו לב להחליף את a1 ו-d בערכים המתאימים

בניית משוואה

הגדרת נוסחת הסכום

מה עושים

נשתמש בנוסחה S = n/2 × (a1 + an) לסכום הסדרה

למה

נוסחה זו מחשבת סכום של סדרה חשבונית

סכום הסדרה הוא חצי כפול מספר האיברים בסכום האיבר הראשון והאחרון

נוסחה / הצבה

S = n/2 × (a1 + an)S = (n/2)(a1 + an)S = (n)/(2) (a_1 + a_n)

פתרון

פישוט הנוסחה

מה עושים

נכניס את an ונפשט ל-S ביטוי פולינומי של n

למה

פישוט הנוסחה מאפשר נוסחה סגורה ונוחה לשימוש

נציב an ונקבל S = n/2 × [1 + 4n -3] = n/2 × (4n - 2) = 2n² - n

נוסחה / הצבה

S = 2 n^2 - nS = 2n^2 - n

בסיום יש נוסחה סופית לנוחות החישוב

תשובה

נוסחת סכום הסדרה

מה עושים

כתוצאה מתקבלת הנוסחה הסופית לסכום

למה

כעת ניתן לחשב סכום עבור כל n איברים בלי לדעת את n מראש

S(n) = 2n² - n

נוסחה / הצבה

S = 2 n^2 - nS = 2n^2 - nS = 2 n^(2) - n

פתרונות כלליים

מציאת נוסחה לסכום סדרה חשבונית לא מלאה: הפרש הסדרה הוא d = 5 - 1 = 4. האיבר הראשון a1 = 1. האיבר ה-n בסדרה הוא an = a1 + (n-1)d = 1 + 4(n-1) = 4n - 3. נוסחת סכום n האיברים הראשונים היא S = n/2 × (a1 + an) = n/2 × (1 + 4n - 3) = n/2 × (4n - 2) = 2n^2 - n.

הפריט הקודם הפריט הבא

א15. סדרה חשבונית סכום סדרה פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נוסחה כללית לסכום n האיברים הראשונים בסדרה, S(n)

סדרה חשבונית עם האיברים הראשונים: 1, 5, 9

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

נשתמש בנוסחה S = n/2 × (a1 + an) לסכום הסדרה

נכניס את an ונפשט ל-S ביטוי פולינומי של n

מפשטים

פתרון מפורט

הכרת נתוני הבעיה

מציאת איבר סידרת n-ה

הגדרת נוסחת הסכום

פישוט הנוסחה

נוסחת סכום הסדרה

פתרונות כלליים