איברים סמוכים בסדרה חשבונית – הבנת הקשר
רמת קושי: קל
אם ב', א' וג' הם שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית, כתבו את המשוואה המתארת את הקשר ביניהם.
סדרה חשבוניתאיברים סמוכיםמשוואה
רמז: זכרו שההפרשים בין איברים סמוכים שווים ולכן פעמיים האיבר האמצעי שווה לסכום השאר.
פתרון מלא
תשובה סופית: 2ב = א + ג
המשוואה היא 2ב = א + ג, כלומר האיבר האמצעי מוכפל ב-2 שווה לסכום שני האיברים שלפניו ואחריו.
פתרון משוואה עם שורשים בסדרה חשבונית
רמת קושי: בינוני
פתרו את המשוואה המתארת שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית וכוללת שורשים: 2ב = א + ג, כאשר א= x, ב= x+1, ג= x+2. כתבו את המשוואה, העלו בריבוע ופתרו את הערך של x.
סדרה חשבוניתמשוואה עם שורשיםהעלאה בריבועפתרון משוואות
רמז: החליפו את הערכים בביטוי, העלו בריבוע את שני הצדדים לפי נוסחת הכפל המקוצר, ולאחר הפישוט פתרו משוואה ריבועית.
פתרון מלא
תשובה סופית: \text{כל x הוא פתרון – בדקו בעיות עיוות לפי תרגיל אחר לשורשים}
2(x+1) = x + (x+2)
2x + 2 = 2x + 2
המשוואה נכונה לכל x, אך במקרה כללי ממשיכים בפתרון כאשר יש ביטוי עם שורשים. להדגמה בלבד.
פתרון מלא של משוואה בסדרה חשבונית עם העלאה בריבוע ושורשים
רמת קושי: מאתגר
נתונים שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית: א, ב, ג כך ש-2ב = א + ג. נניח א = x, ב = x+1, ג = x+2. כתבו את המשוואה הכוללת שורש, העלו בריבוע והגיעו לפתרון המלא של x.
סדרה חשבוניתמשוואות עם שורשיםהעלאה בריבועבדיקת פתרונות
רמז: התחילו בכתיבה של המשוואה, העלו בריבוע את האגף המתאים, השתמשו בנוסחת הכפל המקוצר, העבירו אגפים לצדדים, פישוט ופתרון משוואה ריבועית, לאחר מכן בצעו בדיקת פתרונות.
פתרון מלא
תשובה סופית: x = פתרונות המשוואה הריבועית לאחר העלאה בריבוע ובדיקה
המשוואה היא 2(x+1) = x + (x+2)
2x + 2 = 2x + 2
מונהגת דוגמה בלבד, המשימה הייתה להראות על העלאה בריבוע במקרה שלא ברור זאת במפרט המשוואה אולי שורשית.
בהקשר של שורשים: נניח הביטוי \( \sqrt{2x+3} = x - 1 \), מעלה בריבוע:
2x + 3 = (x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
מעבירים אגפים:
0 = x^2 - 4x - 2
פותרים משוואה ריבועית
ולבסוף בודקים את התשובות שנמצאו על ידי הצבה במשוואה המקורית כדי לוודא שאין שורשים 'שקריים'.
פתרון תרגיל בסדרה חשבונית עם העלאה בריבוע
רמת קושי: בגרות
בתרגיל זה יש שלושה איברים סמוכים באורך סמנים א, ב, ג בסדרה חשבונית. כתבו את המשוואה 2ב = א + ג, העלו בריבוע, ופשטו כדי להגיע לפתרון ל-x כאשר א = x, ב = x + 1, ג = x + 2.
סדרת חשבוניתהעלאה בריבועבגרותמשוואות
רמז: השהמשוואה תכלול ביטויים בריבוע, עליכם להשתמש בנוסחת הכפל המקוצר לפישוט, להעביר אגפים לצדדים ולפתור משוואה ריבועית. אל תשכחו לבדוק את התשובות בסיום.
פתרון מלא
תשובה סופית: x לפי המשוואה לאחר פתרון וודאות
המשוואה היא 2(x+1) = x + (x+2)
2x + 2 = 2x + 2 – זה משוואה תקפה לכולם, אך המשוואה שמכילה שורשים במקרה כללי נשמרת. במקרה שיש שורשים צריך להעלות בריבוע בשיטה שלמה לפי הנלמד.
דוגמה נוספת להעלאה בריבוע: \( \sqrt{a+b} = c \) מעלה בריבוע: a + b = c^2, ואז פיתוח המשוואה הריבועית לפי הנוסחאות.