MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה טריגונומטרית

ג2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א. סיכום כלי עבודה בחקירה טריגונומטרית

וידאו

ב1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ב2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ג1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ג2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ג3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ד1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

וידאו

ד2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית בקרה במחשבון

וידאו

ד3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית בקרה במחשבון

וידאו

ד4. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ד5. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ד6. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ד7. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ה1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

סיכום שיעור

  • שיעור העוסק בחקירת פונקציה טריגונומטרית, מציאת נקודות קצה, פתרון משוואה טריגונומטרית בעזרת זוויות וסידור פתרונות בתום תחום מוגבל.
  • לזהות ולהציב נקודות קצה בפונקציה טריגונומטרית.
  • לאתר ערכי פונקציה במחשבון בנקודות מסוימות.
  • לפתור משוואות טריגונומטריות באמצעות זהויות ידועות.
  • להגדיר את תחום הפתרונות בהתאם להגבלות.
  • לכתוב פתרון כללי ללוח זמנים באמצעות פרמטרים.
  • לבקר את הפתרונות בעזרת מחשבון.
  • להוסיף נקודות חיתוך ויזואלית בגרף.
  • הצבת נקודות קצה ובדיקת ערכי הפונקציה: הצבת נקודות קצה במספר ערכים (0, מינוס פאי חלקי 2, שלוש פאי חלקי 2) ובדיקת ערכי הפונקציה במחשבון בכדי לתכנן גרף ומערכת צירים.
  • פתרון משוואה טריגונומטרית: שימוש בזהויות טריגונומטריות על מנת לפרק משוואה הכוללת קוסינוס בריבוע וכפולות זוויות, ולאחר מכן לבצע פתרון משוואות פשוטות יותר.

תרגול קצר

מציאת ערכי הפונקציה בנקודות קצה

רמת קושי: קל

ממתין

הציבו את X=0, X= -π/2 ו- X= 3π/2 בפונקציה f(x) = cos²(x) - cos(2x) ובדקו את ערכי הפונקציה במחשבון.

נקודות קצהמחשבוןפונקציה טריגונומטרית

רמז: זכרו תחילה לחשב קטגוריות כמו cos 0, cos π/2 וכו. השתמשו במחשבון במצב RAD.

פתרון מלא

תשובה סופית: f(0)=0, f(-π/2)=1, f(3π/2)=1

f(0) = cos²(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0 f(-π/2) = cos²(-π/2) - cos(-π) = 0² - (-1) = 1 f(3π/2) = cos²(3π/2) - cos(3π) = 0² - (-1) =1

פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתרו את המשוואה cos²(x) - cos(2x) = 0 בתחום x ∈ [-π/2, 3π/2].

פתרון משוואותזהות טריגונומטריתתחום הפתרונות

רמז: השתמשו בזהות cos(2x) = 2 cos²(x) -1 כדי להמיר למשתנה אחד.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=0, x=π

cos²(x) - cos(2x)=0 cos²(x) - (2 cos²(x)-1) = 0 cos²(x) -2 cos²(x) +1=0 - cos²(x) +1=0 cos²(x)=1 cos(x)= ±1 פתרונות: cos x=1 => x = 2πk cos x=-1 => x = π + 2πk בתחום הנתון: x=0 (k=0), x=π (k=0)

איתור פתרונות כלליים וחיתוך עם הצירים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצאו את כל הפתרונות של המשוואה cos^2(x) - cos(2x) = 0 וכתבו את נקודות החיתוך עם ציר ה-X בתחום [-π/2, 3π/2].

פתרון כלליקביעת תחוםנקודות חיתוך

רמז: השתמשו בפרמטר k בפתרונות הכלליים, וסננו את אלו החורגים מהתחום.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=0, x=π

כפי שבפתרון הביניים: cos(x)=1 ו- cos(x)=-1 פתרונות כלליים: x=2πk x=π+2πk בתחום [-π/2, 3π/2] מבחנים ל-k: עבור x=2πk: k=0 => x=0 ∈ תחום k=1 => x=2π ≈6.28 מחוץ לתחום k=-1 => x=-2π מחוץ לתחום עבור x=π+2πk: k=0 => x=π ≈3.14 ∈ תחום k=1 => 5π מחוץ לתחום k=-1 => -π מחוץ לתחום לכן נקודות חיתוך: x=0 ו- x=π

חקירת פונקציה טריגונומטרית ובדיקת פתרונות

רמת קושי: בגרות

ממתין

לחקור את הפונקציה f(x) = cos²(x) - cos(2x) בתחום x ∈ [-π/2, 3π/2], לחשב ערכי קצה ולפתור את המשוואה f(x)=0. הציגו את נקודות החיתוך, השתמשו במחשבון לבקרה.

חקירהבחינת קצהפתרון משוואהבקרה במחשבון

רמז: השתמשו בזהויות וקבעו פתרונות כלליים עם k; הקפידו לבדוק תחום הרצוי.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות חיתוך ב-x=0 ו-x=π, עם מחקר קצה מתאים והוכחות מחשבוניות.

1. חשבו ערכי הפונקציה בנקודות x= -π/2, 0, 3π/2. 2. כתבו את המשוואה f(x)=0 והמירו בעזרת זהות ל-cos². 3. מצאו cos(x) = ±1 וכתבו את הפתרונות הכלליים. 4. בחרו את הערכים המתאימים ל-k בהתאם לתחום. 5. ציינו את נקודות החיתוך והציגו אתן בגרף. 6. בדקו באמצעות מחשבון את ערכי הפונקציה והפתרונות.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה טריגונומטרית בתחום מוגבל

פירוק המשוואה למציאת נקודות החיתוך עם ציר ה-X

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא כל נקודות הפיתרון במשוואה הנתונה בתחום.

  2. נתון 1

    נתון 1

    cos²(x) - cos(2x) = 0
  3. נתון 2

    תחום x: -π/2 ≤ x ≤ 3π/2

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    השתמש בזהות טריגונומטרית לפישוט, מצא פתרונות כלליים, וסנן לפי תחום.

  5. נוסחה

    מחליפים במשוואה ומסדרים לאפס.

    cos^2(x) - (2 cos^2(x) - 1) = 0- cos^2(x) + 1 = 0
  6. משוואה

    מסמנים את המשוואה ותחום ההגדרה.

    מסמנים את המשוואה ותחום ההגדרה.

  7. פישוט

    מבודדים cos²(x) ומוצאים cos(x).

    מבודדים cos²(x) ומוצאים cos(x).

    cos^2(x) = 1cos(x) = 1 or cos(x) = -1
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    בודקים את ערכי k שהופכים את x לתוך התחום.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

נתונים

מה עושים

מסמנים את המשוואה ותחום ההגדרה.

למה

מגדירים מה נתון ומה דרוש לפתור.

המשוואה cos²(x) - cos(2x) = 0 מוגדרת בתחום הנתון.

2

בחירת שיטה

שימוש בזהויות

מה עושים

ממירים cos(2x) לביטוי עם cos²(x).

למה

להפוך משוואה עם משתנה אחד לטובת פתרון קל יותר.

cos(2x) = 2 cos²(x) -1.

נוסחה / הצבה

cos(2x) = 2 cos^2(x) - 1cos(2x) = 2 cos²(x) - 1(2x) = 2 ^2(x) - 1

זוהי זהות מרכזית לפתרון משוואות טריגונומטריות.

3

בניית משוואה

כתיבת המשוואה למשתנה אחד

מה עושים

מחליפים במשוואה ומסדרים לאפס.

למה

למצוא ערכים של cos²(x) שמתאימים למשוואה.

cos²(x) - (2 cos²(x)-1) = 0 => -cos²(x) +1 = 0

נוסחה / הצבה

cos^2(x) - (2 cos^2(x) - 1) = 0- cos^2(x) + 1 = 0
4

פתרון

פתרון המשוואה

מה עושים

מבודדים cos²(x) ומוצאים cos(x).

למה

הבנת האומדן לפתרונות x.

cos²(x) = 1 => cos(x) = ±1.

נוסחה / הצבה

cos^2(x) = 1cos(x) = 1 or cos(x) = -1

הפתרונות עבור cos(x) = ±1 ידועים ומופיעים בטבלה.

5

פתרון

קביעת הפתרונות הכלליים

מה עושים

כותבים פתרונות עם הפרמטר k שלם.

למה

משוואות טריגונומטריות חוזרות על עצמן במחזורים של 2π.

cos x=1 ⇒ x=2πk cos x=-1 ⇒ x=π+2πk

נוסחה / הצבה

cos x=1 => x=2πkcos x=-1 => x=π+2πk

k הוא כל מספר שלם.

6

בדיקה

סינון פתרונות לפי התחום

מה עושים

בודקים את ערכי k שהופכים את x לתוך התחום.

למה

רק פתרונות בתחום המבוקש תקפים.

k=0 נותן x=0 ו-x=π k=1 או k=-1 מספקים ערכים מחוץ לתחום.

בדיקה חשובה לאפס פתרונות שאינם רלוונטיים.

פתרונות כלליים

  • מציאת ערכי הפונקציה בנקודות קצה: f(0) = cos²(0) - cos(0) = 1 - 1 = 0 f(-π/2) = cos²(-π/2) - cos(-π) = 0² - (-1) = 1 f(3π/2) = cos²(3π/2) - cos(3π) = 0² - (-1) =1
  • פתרון משוואה טריגונומטרית בסיסית: cos²(x) - cos(2x)=0 cos²(x) - (2 cos²(x)-1) = 0 cos²(x) -2 cos²(x) +1=0 - cos²(x) +1=0 cos²(x)=1 cos(x)= ±1 פתרונות: cos x=1 => x = 2πk cos x=-1 => x = π + 2πk בתחום הנתון: x=0 (k=0), x=π (k=0)
  • איתור פתרונות כלליים וחיתוך עם הצירים: כפי שבפתרון הביניים: cos(x)=1 ו- cos(x)=-1 פתרונות כלליים: x=2πk x=π+2πk בתחום [-π/2, 3π/2] מבחנים ל-k: עבור x=2πk: k=0 => x=0 ∈ תחום k=1 => x=2π ≈6.28 מחוץ לתחום k=-1 => x=-2π מחוץ לתחום עבור x=π+2πk: k=0 => x=π ≈3.14 ∈ תחום k=1 => 5π מחוץ לתחום k=-1 => -π מחוץ לתחום לכן נקודות חיתוך: x=0 ו- x=π
  • חקירת פונקציה טריגונומטרית ובדיקת פתרונות: 1. חשבו ערכי הפונקציה בנקודות x= -π/2, 0, 3π/2. 2. כתבו את המשוואה f(x)=0 והמירו בעזרת זהות ל-cos². 3. מצאו cos(x) = ±1 וכתבו את הפתרונות הכלליים. 4. בחרו את הערכים המתאימים ל-k בהתאם לתחום. 5. ציינו את נקודות החיתוך והציגו אתן בגרף. 6. בדקו באמצעות מחשבון את ערכי הפונקציה והפתרונות.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.