מציאת חיתוך עם ציר y
רמת קושי: קל
מצא את נקודת החיתוך של הפונקציה y = cos²(x) - cos(2x) עם ציר y.
חיתוךציר yטריגונומטריה
רמז: חיתוך עם ציר y מתקבל ב x=0. הצב x=0 בפונקציה וחישב את y.
פתרון מלא
תשובה סופית: (0,0)
נציב x=0 בפונקציה: y = cos²(0) - cos(0) = 1² - 1 = 0
מציאת נקודות קצה בקטע מוגדר
רמת קושי: בינוני
מצא את נקודות הקצה של הפונקציה y = cos²(x) - cos(2x) בתחום x בין -π/2 ל-3π/2.
נקודות קצהטריגונומטריה
רמז: הערכת ערכי הפונקציה ב-x = -π/2 ו-x = 3π/2 תיתן את נקודות הקצה.
פתרון מלא
תשובה סופית: (-π/2,1), (3π/2,1)
הערכת הפונקציה בנקודות הקצה:
ב-x = -π/2:
cos(-π/2) = 0
cos²(-π/2) = 0
cos(2*(-π/2)) = cos(-π) = -1
y = 0 - (-1) = 1
ב-x = 3π/2:
cos(3π/2) = 0
cos²(3π/2) = 0
cos(2*3π/2) = cos(3π) = -1
y = 0 - (-1) = 1
נקודות הקצה הן (-π/2, 1) ו-(3π/2, 1).
מציאת נקודות הקיצון של הפונקציה
רמת קושי: מאתגר
חקור את נקודות הקיצון של הפונקציה y = cos²(x) - cos(2x) בתחום x בין -π/2 ל-3π/2.
נקודות קיצוןנגזרותטריגונומטריה
רמז: חשב את הנגזרת הראשונה, השווה לאפס, פתח משוואת טריגונומטרית ופתור.
פתרון מלא
תשובה סופית: נקודות הקיצון הן (0,0), (π/2,1), (π,0)
נגזור את הפונקציה:
y = cos²(x) - cos(2x)
נגזרת:
y' = 2cos(x)(-sin(x)) - [ -2sin(2x) ]
y' = -2cos(x)sin(x) + 2sin(2x)
נשתמש בזהות sin(2x) = 2sin(x)cos(x):
y' = -2cos(x)sin(x) + 2*2sin(x)cos(x) = -2cos(x)sin(x) + 4sin(x)cos(x) = 2sin(x)cos(x)
אז,
y' = 2sin(x)cos(x) = 0
משמע,
sin(x)=0 או cos(x)=0
בין -π/2 ל-3π/2:
sin(x)=0 ב-x=0, x=π
cos(x)=0 ב-x=π/2
נמצא ערכי y בכל נקודה ונבדוק מינימום/מקסימום.
x=0: y=cos²(0)-cos(0)=1-1=0
x=π/2: cos(π/2)=0, cos²=0, cos(π)= -1, y=0 - (-1)=1
x=π: cos(π)=-1, cos²=1, cos(2π)=1, y=1 - 1=0
נקודות הקיצון: (0,0), (π/2,1), (π,0)
פתרון משוואה טריגונומטרית
רמת קושי: בגרות
פתור את המשוואה cos(2x) = 2cos²(x) -1 בתחום x ב[ -π/2 , 3π/2 ].
משוואות טריגונומטריותזהויות
רמז: השתמש בזהות טריגונומטרית כדי להזים את המשוואה ולפתור עבור cos(x).
פתרון מלא
תשובה סופית: המשוואה היא זהות אמיתית לכל x בטווח הנתון.
נזכור ש-cos(2x) = 2cos²(x) -1 ולכן המשוואה היא זהות אמיתית לכל x.
אבל אם המשוואה היתה למשל cos(2x)=a, נפתור עבור cos(x) ואז נשתמש בטווח הנתון לפתירת x.