MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · חקירה טריגונומטרית

ב2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

א. סיכום כלי עבודה בחקירה טריגונומטרית

וידאו

ב1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ב2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ג1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ג2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ג3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית כולל בקרה מלאה המחשבון

וידאו

ד1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

וידאו

ד2. חקירה של פונקציה טריגונומטרית בקרה במחשבון

וידאו

ד3. חקירה של פונקציה טריגונומטרית בקרה במחשבון

וידאו

ד4. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ד5. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ד6. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ד7. חקירה של פונקציה טריגונומטרית סעיפים מיוחדים סעיפי חשיבה ולא סעיפי חישוב

וידאו

ה1. חקירה של פונקציה טריגונומטרית מציאת פרמטרים בקרה במחשבון

סיכום שיעור

  • בחקירה טריגונומטרית לומדים כיצד לגזור ולהפוך משוואות טריגונומטריות לפתרונות, כולל שימוש במחשבון לבקרה על התוצאות.
  • לגזור פונקציות טריגונומטריות בעלות חזקות.
  • לזהות נוסחאות טריגונומטריות חשובות
  • לפתור משוואות טריגונומטריות על ידי שיפור ויישום נוסחאות.
  • לבצע בקרה על הפתרונות באמצעות מחשבון גרפי ומנהלי הפונקציות.
  • להפיק טבלאות וסכמות לציון נקודות קיצון וחיתוכים בצירים.
  • הגזירה של פונקציה טריגונומטרית עם חזקה: לומדים לגזור פונקציה מורכבת של סינוס בחזקה, בעזרת כלל החזקה, נגזרת פונקציית הסינוס ונגזרת פונקציית הפנים.
  • המרת הביטוי לפי נוסחאות טריגונומטריות: המרת ביטויים לייצוגים מוכרים כמו סינוס 2X או טאנגנס 2X בעזרת במודלים אלגבריים ונוסחאות הכפל.
  • פתרון המשוואה והבקרה עם מחשבון: הפעלת מחשבון למציאת פתרונות למשוואות, קבלת הזוויות, הצבת בחזרה וניטור הערכים לנקודות קיצון בעזרת הנגזרת.

תרגול קצר

גזירת פונקציה טריגונומטרית עם חזקה

רמת קושי: קל

ממתין

גזור את הפונקציה y = (sin x)^2

נגזרתטריגונומטריה

רמז: השתמש בכלל נגזרת חזקה ונגזרת הסינוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = 2 sin x cos x

y' = 2 sin x * cos x

פתרון משוואה טריגונומטרית עם סינוס כפול

רמת קושי: בינוני

ממתין

פתור את המשוואה 2 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0 במשתנה x.

משוואות טריגונומטריותפתרון משוואות

רמז: השתמש בנוסחת סינוס כפול כדי לפשט את הביטוי וכתוצאה תגיע למשוואה בטאנגנס.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -0.553 + πk/2

המרת 2 sin x cos x ל-sin 2x. עובר למשוואה: sin 2x + 2 cos^2 x = 0 חילוץ ביטוי בטאנגנס של 2x לאחר חלוקה בקוסינוס בריבוע. פתרון טאנגנס 2x = -1.32 + πk חישוב ערכי x לאחר חלוקה ב-2.

חקירת נקודות קיצון בעזרת נגזרת

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה פונקציה y = (sin x)^2. מצא את נקודות הקיצון בטווח נתון והצביע על סיווגן.

חקירה פונקציונליתנגזרתנקודות קיצון

רמז: חשב את הנגזרת, פתר את y' = 0 ולאחר מכן השתמש בבדיקת סימני הנגזרת סביב נקודות הפתרון.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב: x = kπ/2 מקסימום ב: x = π/2 + kπ מינימום ב: x = kπ

y' = 2 sin x cos x = sin 2x פתרון sin 2x = 0: 2x = kπ נקודות x = kπ/2 בדיקת סימני הנגזרת סביב נקודות אלו מראה שמקסימום בנקודות x = π/2 + kπ ומינימום בנקודות x = kπ.

משוואה טריגונומטרית ממוצעת

רמת קושי: בגרות

ממתין

פתור את המשוואה 2 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0 במערכת המספרים הממשית.

בגרותטריגונומטריהפתרון משוואות

רמז: השתמש בנוסחת סינוס כפול והמר לטאנגנס 2x, פתר את המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = -0.553 + πk/2

2 sin x cos x = sin 2x חילוץ משוואה sin 2x + 2 cos^2 x = 0 חילוץ טאנגנס 2x פתרון טאנגנס 2x = -1.32 + πk חישוב פתרונות x = -0.553 + πk/2

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה טריגונומטרית: 2 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0

חקירת הפונקציה בעזרת נגזרת ונוסחאות טריגונומטריות

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערכי x המקיימים את המשוואה

  2. נתון 1

    נתון 1

    פונקציה y = (sin x)^2
  3. נתון 2

    נתון 2

    המשוואה 2 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בנוסחת סינוס כפול כדי לפשט את המשוואה ולפתור אותה באמצעות טנגנס 2x.

  5. נוסחה

    מעביר את ה- 2 sin x cos x ל- sin 2x ומעביר אגף

    sin 2x + 2 cos^2 x = 02x + 2 ^2 x = 0
  6. משוואה

    קבלת המשוואה 2 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0

    קבלת המשוואה 2 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0

  7. פישוט

    מחלק ב-cos² x וממיר את המשוואה לטאנגנס 2x

    מחלק ב-cos² x וממיר את המשוואה לטאנגנס 2x

    tan 2x = -1.32 + πk2x = -1.32 + k
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    מציבים את הערכים בנגזרת ומוודאים ערכים קרובים לאפס

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

משוואה טריגונומטרית נתונה

מה עושים

קבלת המשוואה 2 sin x cos x + 2 cos^2 x = 0

למה

זוהי המשוואה שעלינו לפתור

המשוואה מורכבת מסכום של מכפלת סינוס וקוסינוס וכן מונח של קוסינוס בריבוע.

2

בחירת שיטה

המרת הביטוי באמצעות נוסחת סינוס כפול

מה עושים

השתמש בנוסחת 2 sin x cos x = sin 2x

למה

פישוט הביטוי למשוואה פשוטה יותר

מכפלת סינוס וקוסינוס היא סינוס של זווית כפולה, מה שמקל על פתרון המשוואה.

נוסחה / הצבה

2 sin x cos x = sin 2x2 x x = 2x

ניתן לבדוק נוסחות טריגונומטריות בזיכרון או טבלה.

3

בניית משוואה

כתיבת המשוואה עם פונקציות כפולות

מה עושים

מעביר את ה- 2 sin x cos x ל- sin 2x ומעביר אגף

למה

להוציא את כל האיברים לצד אחד ולאפשר פישוט

המשוואה הופכת ל-sin 2x + 2 cos² x = 0.

נוסחה / הצבה

sin 2x + 2 cos^2 x = 02x + 2 ^2 x = 0
4

פתרון

חילוץ ביטוי בטאנגנס

מה עושים

מחלק ב-cos² x וממיר את המשוואה לטאנגנס 2x

למה

מאפשר לפתור במשוואה סטנדרטית של טאנגנס

sin 2x / cos^2 x + 2 = 0, כלומר tan 2x = מספר

נוסחה / הצבה

tan 2x = -1.32 + πk2x = -1.32 + k

יש להשתמש במחשבון למציאת הזוויות המתאימות.

5

פתרון

חישוב ערכי x

מה עושים

מפצלים את 2x ומחלקים ב-2 לקבלת x

למה

x הוא המשתנה אותו מחפשים

x = (-1.107 + πk)/2 = -0.553 + πk/2

ודא כי הערכים מתאימים לטווח ההגדרה הרלוונטי של הפונקציה.

6

בדיקה

בדיקת הפתרונות עם המחשבון

מה עושים

מציבים את הערכים בנגזרת ומוודאים ערכים קרובים לאפס

למה

כדי לאושש את נכונות הפתרונות ולזהות נקודות קיצון

שימוש ב-DX במחשבון לגרפים ומנתחים את הסימנים של הנגזרת ליד הפתרונות.

אם הערך אינו קרוב לאפס, יש לבדוק את הפתרון מחדש.

פתרונות כלליים

  • גזירת פונקציה טריגונומטרית עם חזקה: y' = 2 sin x * cos x
  • פתרון משוואה טריגונומטרית עם סינוס כפול: המרת 2 sin x cos x ל-sin 2x. עובר למשוואה: sin 2x + 2 cos^2 x = 0 חילוץ ביטוי בטאנגנס של 2x לאחר חלוקה בקוסינוס בריבוע. פתרון טאנגנס 2x = -1.32 + πk חישוב ערכי x לאחר חלוקה ב-2.
  • חקירת נקודות קיצון בעזרת נגזרת: y' = 2 sin x cos x = sin 2x פתרון sin 2x = 0: 2x = kπ נקודות x = kπ/2 בדיקת סימני הנגזרת סביב נקודות אלו מראה שמקסימום בנקודות x = π/2 + kπ ומינימום בנקודות x = kπ.
  • משוואה טריגונומטרית ממוצעת: 2 sin x cos x = sin 2x חילוץ משוואה sin 2x + 2 cos^2 x = 0 חילוץ טאנגנס 2x פתרון טאנגנס 2x = -1.32 + πk חישוב פתרונות x = -0.553 + πk/2
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.