MMATH
התחברות

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד א

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

חורף 2012 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 דרך נוספת מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 המשך מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד ג

סיכום שיעור

  • פירוק ותשובה לשאלה בסדרה חשבונית עם שימוש בחלוקת הסדרה לתתי-סדרות וסכומיהן, הוכחה אלגברית של סכום וקבלת ערכי פרמטרים שונים בסדרה.
  • להבין חלוקה של סדרה חשבונית לתת-סדרות לפי אינדקסים
  • לדעת לכתוב את סכום האיברים בחלקי הסדרה
  • לנסח ולהשתמש במשוואות המתארות את סכומי תת-הסדרות
  • להוביל הוכחה אלגברית המבוססת על מידע הנתון בשאלה
  • לזהות ולמצוא את הפרמטרים A1 ו-D של הסדרה
  • להשתמש במשוואות למציאת פרמטרים בעזרת תחליפים אלגבריים
  • מבוא והגדרת הסדרה: הסבר חלוקת הסדרה החשבונית ל-3 קבוצות עשר איברים כל אחת: ראשונים, אמצעים, אחרונים, לפי אינדקסים.
  • הנתונים והמשוואות הראשוניות: הסכום של אין האחרונים גדול פי 2 מסכום אין האמצעים. נכתב ביטוי אלגברי לסכום כל קבוצה לפי האיבר הראשון והפרש הסדרה.
  • הוכחה לגבי סכום אין הראשונים: הוכחה שמתקבלת תוצאה שהסכום של אין הראשונים הוא אפס באמצעות הצבה והפשטה אלגברית של הביטויים.

תרגול קצר

חשבון סכום תת-סדרה בסדרה חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה חשבונית עם איבר ראשון A1 והפרש D. חשב את סכום 10 האיברים מהאיבר ה-21 עד האיבר ה-30.

סכוםסדרה חשבוניתבסיס

רמז: השתמש בנוסחה לסכום n איברים עם סכום חלקי אינדקסים + סדרה חשבונית.

פתרון מלא

תשובה סופית: 10A1 + 245D

מספר האיברים n=10, האיבר ה-21 הוא A1 + 20D, האיבר ה-30 הוא A1 + 29D. הסכום הוא: S = n/2*(A_start + A_end) = 10/2 * (A1 + 20D + A1 + 29D) = 5 * (2A1 + 49D) = 10A1 + 245D.

הוכחת סכום אין הראשונים שווה אפס

רמת קושי: בינוני

ממתין

בסדרה חשבונית עם 30 איברים סודרו לשלושה חלקים של 10 איברים כל אחד. נתון שסכום 10 האיברים האחרונים הוא פי 2 מסכום 10 האיברים הקודמים להם. הראה שסכום 10 האיברים הראשונים הוא אפס.

הוכחהסכוםסדרה חשבוניתבינוני

רמז: כתוב את סכומי תתי-הסדרות בעזרת נוסחת הסדרה החשבונית, השתמש במשוואות והצע החלפות עבור A1 ו-D.

פתרון מלא

תשובה סופית: 0

נסמן את שלושת תתי-הסדרות: ראשונים (איברים 1-10), אמצעים (11-20), אחרונים (21-30). נכתוב את סכומי תתי-הסדרות לפי הנוסחה: S = n/2 (2A1 + (n-1)D) כשמם של האיברים מתאימים. נשתמש בנתון שסכום אין האחרונים = 2 * סכום אין האמצעים כדי לקבל משוואות ונפתור. לאחר הצבה והפשטה מתגלה כי סכום אין הראשונים הוא 0.

חישוב פרמטר הדיפרנציאל D בסדרה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בסדרה חשבונית שהאיבר הראשון A1 ופרש הסדרה D אינם ידועים, ומתוך הנתונים שסכום 30 האיברים בעזרת משוואות נתונים מספריים, מצא את ערך D.

חישובסדרה חשבוניתאלגברהמתקדם

רמז: השתמש במשוואות שנתנו והחלף משתנים בין A1 ל-D, פתר את המשוואות המספריות.

פתרון מלא

תשובה סופית: D = 2

מהמשוואות נובע כי N=11. הצבת הביטויים בהתאם ומעבר לנוסחאות הנתונות מוביל למשוואה 10A1 + 32D = 44. החלפת A1 בערך מינוס 5D מאפשרת למצוא ש-D = 2.

הוכחת אפס סכום הראשונים בסדרה חשבונית

רמת קושי: בגרות

ממתין

בסדרה חשבונית בת 30 איברים מחולקת לשלושה חלקים בני 10 איברים כל אחד: הראשונים, האמצעים והאחרונים. ידוע שסכום האחרונים גדול פי 2 מסכום האמצעים. הוכח שסכום הראשונים הוא אפס.

בגרותהוכחהסדרה חשבוניתמתמטיקה יכלית

רמז: השתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית לכל אחד משלושת חלקי הסדרה, הצב משוואה בין סכום האמצעים לסכום האחרונים ופתור אלגברית.

פתרון מלא

תשובה סופית: 0

נסמן A1 – האיבר הראשון, D – הפרש. נכתוב את סכומי האמצעים והאחרונים לפי נוסחת הסכום. נציב את הנתונים במשוואה: סכום האחרונים = 2 * סכום האמצעים. נפתור עבור הביטויים ונמצא כי סכום הראשונים (איברים 1-10) מתאפס.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

כיצד להוכיח שסכום האיברים הראשונים הוא אפס

פתרון שאלה בסדרה חשבונית מחולקת לתתי-סדרות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הוכחה שסכום 10 האיברים הראשונים שווה 0

  2. נתון 1

    סדרה חשבונית בת 30 איברים עם איבר ראשון A1 ופרש D

  3. נתון 2

    הסדרה מחולקת ל-3 תת-סדרות של 10 איברים כל אחת

  4. נתון 3

    נתון 3

    סכום 10 האיברים האחרונים= 2 × סכום 10 האיברים הקודמים (האמצעים)
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נכתוב בהתאם נוסחת סכום לאיברים בכל תת-סדרה, ננסח משוואות ונציב את הנתון שסכום האחרונים כפול 2

  6. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  7. משוואה

    נכתוב את סכומי תתי-הסדרות בעזרת הנוסחה, נשייך את האיברים המתאימים לכל

    נכתוב את סכומי תתי-הסדרות בעזרת הנוסחה, נשייך את האיברים המתאימים לכל חלק.

  8. פישוט

    נחליף את הנתון שסכום האיברים האחרונים גדול פי שניים מסכום האמצעים

    נחליף את הנתון שסכום האיברים האחרונים גדול פי שניים מסכום האמצעים במשוואה ונחשב.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת תתי-הסדרות

מה עושים

חלק את הסדרה ל-3 קבוצות 10 איברים כל אחת: ראשונים, אמצעים, אחרונים.

למה

כדי ליישם נתוני השאלה על כל תת-סדרה בנפרד.

הראשונים הם האיברים 1 עד 10; האמצעים 11 עד 20; האחרונים 21 עד 30.

2

בחירת שיטה

נוסחת סכום לסדרה חשבונית

מה עושים

נכין את נוסחת סכום האיברים בסדרה חשבונית לכל תת-סדרה לפי n, A1 ו-D.

למה

כי סכום האיברים הוא בסיס לפתרון המשוואות.

נוסחה כללית S_n = n/2 × (2A1 + (n-1)D)

נוסחה / הצבה

S_n = n/2 * (2A1 + (n-1)D)S_n = n/2 × (2A1 + (n-1)D)S_n = (n)/(2) (2A_1 + (n-1)d)

זכור שסכום סדרה חשבונית בנוי מאיבר ראשון ופרש.

3

בניית משוואה

כתיבת משוואות סיכום

מה עושים

נכתוב את סכומי תתי-הסדרות בעזרת הנוסחה, נשייך את האיברים המתאימים לכל חלק.

למה

על מנת לבצע הצבות וליישם את נתוני השאלה.

לדוגמה, סכום האמצעים הוא חל מ-A1 + 10D עד A1 + 19D עם n=10.

4

פתרון

הצבה ויצירת משוואה

מה עושים

נחליף את הנתון שסכום האיברים האחרונים גדול פי שניים מסכום האמצעים במשוואה ונחשב.

למה

כדי לקבל ביטוי אלגברי המשווה בין סיכומי תתי-הסדרות.

S_אחרונים = 2 × S_אמצעים

5

פתרון

פישוט והוכחה לסכום הראשונים

מה עושים

נמצא את סכום הראשונים ונראה כי הוא אפס לפי המשוואות שנוצרו.

למה

כדי להשלים את הוכחת השאלה.

התוצאה הסופית: סכום 10 האיברים הראשונים שווה 0.

פתרונות כלליים

  • חשבון סכום תת-סדרה בסדרה חשבונית: מספר האיברים n=10, האיבר ה-21 הוא A1 + 20D, האיבר ה-30 הוא A1 + 29D. הסכום הוא: S = n/2*(A_start + A_end) = 10/2 * (A1 + 20D + A1 + 29D) = 5 * (2A1 + 49D) = 10A1 + 245D.
  • הוכחת סכום אין הראשונים שווה אפס: נסמן את שלושת תתי-הסדרות: ראשונים (איברים 1-10), אמצעים (11-20), אחרונים (21-30). נכתוב את סכומי תתי-הסדרות לפי הנוסחה: S = n/2 (2A1 + (n-1)D) כשמם של האיברים מתאימים. נשתמש בנתון שסכום אין האחרונים = 2 * סכום אין האמצעים כדי לקבל משוואות ונפתור. לאחר הצבה והפשטה מתגלה כי סכום אין הראשונים הוא 0.
  • חישוב פרמטר הדיפרנציאל D בסדרה: מהמשוואות נובע כי N=11. הצבת הביטויים בהתאם ומעבר לנוסחאות הנתונות מוביל למשוואה 10A1 + 32D = 44. החלפת A1 בערך מינוס 5D מאפשרת למצוא ש-D = 2.
  • הוכחת אפס סכום הראשונים בסדרה חשבונית: נסמן A1 – האיבר הראשון, D – הפרש. נכתוב את סכומי האמצעים והאחרונים לפי נוסחת הסכום. נציב את הנתונים במשוואה: סכום האחרונים = 2 * סכום האמצעים. נפתור עבור הביטויים ונמצא כי סכום הראשונים (איברים 1-10) מתאפס.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.