MMATH
התחברות

וידאו · פתרונות של בגרויות

חורף 2012 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
וידאו

חורף 2012 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 דרך נוספת מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 המשך מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד ג

סיכום שיעור

  • הפתרון דן בהוכחה של שוויונות מקטעים במשולש באמצעות משפט תלס ושעון חול של תלס, תוך שימוש במטווכים ודמיון משולשים.
  • להבין את השימוש במשפט תלס להוכחת יחסי שוויון בין מקטעים
  • להכיר ולהשתמש במטווך להשטת שוויונות במשולש
  • לזהות שעון חול של תלס ולהוכיח שוויונות מקטעים
  • ליישם חישובים וכפל אופקי לצמצום ביטויים במתמטיקה גיאומטרית
  • מבוא לציור ולנתונים: תיאור הציור עם המשולש, המקביליים, והאלכסונים שנחתכים בנקודות M ו-N.
  • הוכחה חלק א': שימוש במשפט תלס בין המשולשים ABN ו-ACN להוכחת יחסיות בין מקטעים DM, BN, ME, ו-CN.
  • הוכחה חלק ב' ושעון חול של תלס: הצגת שני שעוני חול ושימוש בדמיון משולשים להוכחת שוויונות בין מקטעים נוספים.
  • חלק ג' וסיכום: חיבור השיעורים הקודמים לפישוט ושוויון בין מקטעים באמצעות חישובים ומכפלה אופקית.

תרגול קצר

הוכחת יחסיות מקטעים במשולש

רמת קושי: קל

ממתין

במשולש ABC, נקודות M ו-N על הצלעות כך שמקוים DM ו-ME מקבילים ל-BN ו-CN בהתאמה. הוכח שיחס DM ל-NB שווה ליחס ME ל-CN.

תלסמשולשים דומיםהוכחות גיאומטריות

רמז: השתמש במשפט תלס במטווך והכר את הקשרים בין המשולשים ABN ו-ACN.

פתרון מלא

תשובה סופית: DM / NB = ME / CN

נבחן את המשולשים והחלקים המקבילים. במשולש ABN ומשולש ACN יש חלקים מקבילים. לפי משפט תלס מתקיים AM חלקי AN שווה ל-DM חלקי NB ופעם שנייה שווה ל-ME חלקי NC. לכן מתקיים DM חלקי NB שווה ל-ME חלקי CN, כפי שצריך להוכיח.

שאלה 4 פתרון דוגמה

רמת קושי: בגרות

ממתין

במשולש ABC נקודות M ו-N נבחרו כך שהמקטעים DM ו-ME מקבילים ל-BN ו-CN בהתאמה. הוכח כי המקטעים שווים DM=EM והוכח כי BN=CN.

תלסדמיון משולשיםהוכחהבגרות גבוהה

רמז: השתמש במשפט תלס, דמיון משולשים וכפל אופקי לצמצום ומשוואות.

פתרון מלא

תשובה סופית: DM = EM ו-BN = CN

ראשית, לפי משפט תלס מטווך מתקיים DM ל-NB שווה ל-ME ל-CN. לאחר מכן, בעזרת שעון חול של תלס ודמיון משולשים מתקבל יחס נוסף שמראה ש-MF ל-FN שווה ליחסים דומות. כשמחלקים את השוויונות ומבצעים כפל אופקי, מתקבל ש-DM בריבוע שווה ל-EM בריבוע ולכן DM=EM. להציב את DM=EM במשוואות לקבל ש-BN=CN.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון הוכחת יחס מקטעים במשולש

הוכחה ש-DM/NB = ME/CN במשולש עם נקודות M ו-N

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הוכחה כי DM חלקי NB שווה ל-ME חלקי CN

  2. נתון 1

    משולש ABC

  3. נתון 2

    נקודות M ו-N על צלעות המשולש

  4. נתון 3

    DM מקביל ל-BN

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש במשפט תלס ובמטווך כדי להוכיח את היחס בין המקטעים.

  6. נוסחה

    משוואה מהמשפט התלס: DM חלקי NB שווה ME חלקי CN.

    DM חלקי NB שווה ME חלקי CNDM / NB = ME / CN(DM)/(NB) = (ME)/(CN)
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הצגת הנתונים בציור

מה עושים

סמן במשולש ABC את הנקודות M ו-N והמקביליים DM ל-BN ו-ME ל-CN.

למה

לסמן את הנתונים הניתנים כדי להבין את ההקשרים הגיאומטריים.

המשולש נסמן עם נקודות M ו-N המחברות קווים מקבילים בתוך המשולש.

הדגש על המקביליים שבשאלה.

2

בחירת שיטה

הפעלת משפט תלס במטווך

מה עושים

השתמש במשפט תלס בשני המשולשים ABN ו-ACN עם הקווים המקבילים.

למה

משפט תלס מאפשר יחסיות בין מקטעים כשיש קווים מקבילים במשולש.

משפט תלס אומר שכאשר קו מקביל חותך משולש, היחסים בין המקטעים שווים.

נוסחה / הצבה

AM חלקי AN שווה DM חלקי NB שווה ME חלקי NCAM / AN = DM / NB = ME / NC(AM)/(AN) = (DM)/(NB) = (ME)/(NC)

זכור להשתמש במשפט תלס במטווך.

3

בניית משוואה

קבלת יחס שווה בין המקטעים

מה עושים

משוואה מהמשפט התלס: DM חלקי NB שווה ME חלקי CN.

למה

זו התוצאה המרכזית שנותנת את יחס השוויון שמבקשים להוכיח.

על סמך המשפט מתקבל היחס הנדרש בין המקטעים.

נוסחה / הצבה

DM חלקי NB שווה ME חלקי CNDM / NB = ME / CN(DM)/(NB) = (ME)/(CN)

זוהי התוצאה הרצויה בשאלה.

4

תשובה

סיום ההוכחה

מה עושים

נסכם כי הוכחנו ש-DM חלקי NB שווה ל-ME חלקי CN בהתאם לנתונים ולמשפט תלס.

למה

הגענו ביחסים לכדי השוויון הנדרש.

הוכחה מושלמת של היחס בעזרת משפט תלס ומטווך.

הדגש את השימוש במשפט תלס.

פתרונות כלליים

  • הוכחת יחסיות מקטעים במשולש: נבחן את המשולשים והחלקים המקבילים. במשולש ABN ומשולש ACN יש חלקים מקבילים. לפי משפט תלס מתקיים AM חלקי AN שווה ל-DM חלקי NB ופעם שנייה שווה ל-ME חלקי NC. לכן מתקיים DM חלקי NB שווה ל-ME חלקי CN, כפי שצריך להוכיח.
  • שאלה 4 פתרון דוגמה: ראשית, לפי משפט תלס מטווך מתקיים DM ל-NB שווה ל-ME ל-CN. לאחר מכן, בעזרת שעון חול של תלס ודמיון משולשים מתקבל יחס נוסף שמראה ש-MF ל-FN שווה ליחסים דומות. כשמחלקים את השוויונות ומבצעים כפל אופקי, מתקבל ש-DM בריבוע שווה ל-EM בריבוע ולכן DM=EM. להציב את DM=EM במשוואות לקבל ש-BN=CN.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.