MMATH
התחברות

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ב

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
5 פריטים קודמים בנושא
וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 המשך מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 5 מועד א

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד ב

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4 מועד ג

וידאו

קיץ 2014 שאלון 806 581 פתרון שאלה 5 מועד ג

וידאו

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3

סיכום שיעור

  • בשיעור זה לומדים כיצד לפתור משוואות המתקבלות מסדרה חשבונית עם נתונים על איברים עוקבים, תוך שימוש בתכונות של סדרה חשבונית, החלפת משתנים וחשיבה לוגית על אופן חישוב כמות האיברים.
  • להבין תכונות של סדרה חשבונית עם איברים עוקבים
  • לרשום משוואות המשתמשות בהפרש d ובאיבר כללי an
  • לפתור מערכת משוואות עם שני נעלמים
  • להבין ולהחיל את נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית
  • לחשוב לוגית על אופן ספירת מספר האיברים בסדרה עם אינדקסים מיוחדים
  • ניתוח התכונות הבסיסיות של הסדרה החשבונית: זיהוי תכונות של שלושה איברים עוקבים בסדרה חשבונית, והקשר ביניהם באמצעות תכונת האמצעי והשוואות סכומים.
  • בניית ופתירת המשוואות המתקבלות: יצירת שתי משוואות עליהן מבוססת פתרון של שני נעלמים: an והפרש d, תוך החלפה חכמה של משתנים והגעה למשוואה ריבועית.
  • ספירת האיברים בסדרה: דיון והשוואה בין אינדקס ה-n באיברי סדרה וכמות האיברים האמיתית, תוך התבוננות על תת-סדרה עם אינדקסים מיוחדים וחשיבות הלוגיקה מעבר לאינטואיציה.

תרגול קצר

מציאת an בסדרה חשבונית נתונה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה חשבונית שבה 3a_n+1 = 54 ו- a_n+2 - a_n כפול במקוצר שווה 216. מצא את ערך a_n+1.

סדרה חשבוניתפתרון משוואותan

רמז: נצל את תכונת האיבר האמצעי וסמן a_n+1 = x. החל את הנתונים במשוואות ופשט.

פתרון מלא

תשובה סופית: a_n+1 = 18

מהמשוואה 3a_n+1 = 54 נקבל a_n+1 = 18. הסמן את a_n+1 = 18. נשתמש בנתון השני ונקשר בין a_n+2 ל- a_n עם הפרש d. נציב ונבנה משוואה לפתרון a_n ו-d.

פתרון משוואה עם שני נעלמים בסדרה חשבונית

רמת קושי: בינוני

ממתין

בסדרה חשבונית נתונים: a_n+d=18 ו-2a_n + d = 216 חלקי 2. מצא את a_n ואת d.

סדרה חשבוניתמשוואות ריבועיותפתרון מערכת משוואות

רמז: סמן את המשתנים a_n ו-d וכתוב משוואות. בצע הצבה בין המשוואות כדי לקבל משוואה ריבועית.

פתרון מלא

תשובה סופית: a_n=12, d=6

המשוואה 2a_n + d = 108 (כי 216 חלקי 2=108). הצביע במקום d=18 - a_n מהמשוואה הראשונה. קבל משוואה ריבועית ב-a_n: 18^2 - a_n^2 = 58 ופתור אותה.

הבנת כמות האיברים בסדרה עם אינדקסים מיוחדים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

נתונה סדרה של איברים מסוג 4k+1. אם האיבר האחרון מתואר באיבר a_n והסכום הכולל הוא 450, חשב את מספר האיברים k בסדרה זו.

סדרה חשבוניתכמות איבריםמשוואה ריבועית

רמז: השתמש בנוסחת האיבר הכללי a_n = a_1 + (k-1)d והכפל במספר האיברים כדי לקבל את הסכום.

פתרון מלא

תשובה סופית: k=10

סמן את איברי הסדרה לפי k כ-- a_1 + (k-1)d. השתמש בנוסחת סכום הסדרה. קבל ונוסח במשוואה ריבועית: 6k^2 - 15k - 450 = 0. פתור את המשוואה וקבל k=10.

פתרון שאלה מבגרות בנושא סדרות חשבוניות עם אינדקסים מורכבים

רמת קושי: בגרות

ממתין

בנתונים קיים סדרת איברים חשבונית בעלת איברים בעלי אינדקסים מהצורה 4k+1. ידוע שסכום האיברים בסדרה הוא 450. חשב את מספר האיברים k בסדרה זו.

בגרותסדרה חשבוניתאינדקס מורכב

רמז: השתמש בנוסחת האיבר הכללי ובנוסחת סכום הסדרה החשבונית, והקשב לקשר בין אינדקס n ל-k.

פתרון מלא

תשובה סופית: k=10

נשתמש בנוסחה a_n = a_1 + (k-1)d, כאשר a_1 = -21, d = 12. סכום האיברים S = k/2 * (2a_1 + (k-1)d) = 450. כפול ונקבל משוואה ריבועית ב-k: 6k^2 - 15k - 450 = 0. פתור את המשוואה וקבל k = 10.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה 2 - סדרה חשבונית והפרשי איברים

כיצד למצוא את איבר an ומשתנה d בסדרה נתונה

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא ערך a_n / ערך d

  2. נתון 1

    נתון 1

    3a_n+1 = 54
  3. נתון 2

    נתון 2

    a_n+2 - a_n כפול במקוצר = 216
  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נשתמש בתכונת האיבר האמצעי בסדרה חשבונית ונרשום משוואות לגבי an ו-d, ונפתור את המערכת.

  5. נוסחה

    הנתונים במפורש: 3*a_n+1 = 54, והפרש כפול במקוצר בין a_n+2 ל-a_n = 216.

    3 a_n+1 = 54(a_n+2 - a_n) כפול במקוצר = 216a_n+2 - a_n כפול במקוצר = 2163a_n+1 = 54(a_n+2 - a_n) * מקוצר = 216
  6. משוואה

    הצג a_n+1 = 18 (מ-3a_n+1=54), וכתוב a_n+1 = a_n + d.

    הצג a_n+1 = 18 (מ-3a_n+1=54), וכתוב a_n+1 = a_n + d.

    a_n+1 = 18a_n+2 = a_n + 2d
  7. פישוט

    בעזרת המשוואות הקודמות נציב ונקבל מערכת של שתי משוואות ב-an וב-d.

    בעזרת המשוואות הקודמות נציב ונקבל מערכת של שתי משוואות ב-an וב-d.

    3 a_n+1 = 542 d (a_n + d) = 216
  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    על ידי פישוטי קריפט ולוגיקה לוגית, נמצא a_n=12 ו-d=6 בסדרה.

    a_n=12d=6

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

רשום את הנתונים

מה עושים

הנתונים במפורש: 3*a_n+1 = 54, והפרש כפול במקוצר בין a_n+2 ל-a_n = 216.

למה

משני הנתונים נבנה את המשוואות לפתרון.

ניקח את הנוסחאות ישירות מהנתונים שהתקבלו בשיעור.

נוסחה / הצבה

3 a_n+1 = 54(a_n+2 - a_n) כפול במקוצר = 216a_n+2 - a_n כפול במקוצר = 2163a_n+1 = 54(a_n+2 - a_n) * מקוצר = 216

יש לשים לב לשימוש במקוצר

2

בחירת שיטה

נצל את תכונת האיבר האמצעי

מה עושים

ברשום a_n+1 כנעלם נפרד וקשר אותו עם a_n ו-d.

למה

a_n+1 הוא האיבר האמצעי, וכך ניתן לבנות משוואות פשוטות יותר.

משיקים שהאיבר האמצעי הוא ממוצע של האיברים הסובבים, ולכן ניתן להוציא משוואות עם an ו-d.

3

בניית משוואה

הגדר את המשתנים במשוואות

מה עושים

הצג a_n+1 = 18 (מ-3a_n+1=54), וכתוב a_n+1 = a_n + d.

למה

שימוש בנתון הראשון הפשט את התרגיל ומשמעות ההפרש d.

נובע שה-a_n+1 שווה ל-18, וניתן לתאר את a_n+2 כאיבר שני קדימה ב-d אחר.

נוסחה / הצבה

a_n+1 = 18a_n+2 = a_n + 2d
4

פתרון

הכנס את הביטויים למשוואות

מה עושים

בעזרת המשוואות הקודמות נציב ונקבל מערכת של שתי משוואות ב-an וב-d.

למה

מערכת זו מאפשרת לפתור את המערכת ולאתר את הערכים הרצויים.

משתמשים בהצבות ונראה אם אפשר לקבל ביטוי ב-an בלבד.

נוסחה / הצבה

3 a_n+1 = 542 d (a_n + d) = 2163a_n+1 = 542d * (a_n + d) = 2162d (a_n + d) = 216
5

פתרון

פתור את המשוואות ופשט

מה עושים

על ידי פישוטי קריפט ולוגיקה לוגית, נמצא a_n=12 ו-d=6 בסדרה.

למה

זה התוצאה הסופית המאפשרת את הבנה מלאה של הסדרה הנתונה.

לסיום פתרון המשוואה ומסקנה על הערכים של המשתנים.

נוסחה / הצבה

a_n=12d=6a_n = 12d = 6

יש לבדוק את התוצאה גם מפעם נוספת

פתרונות כלליים

  • מציאת an בסדרה חשבונית נתונה: מהמשוואה 3a_n+1 = 54 נקבל a_n+1 = 18. הסמן את a_n+1 = 18. נשתמש בנתון השני ונקשר בין a_n+2 ל- a_n עם הפרש d. נציב ונבנה משוואה לפתרון a_n ו-d.
  • פתרון משוואה עם שני נעלמים בסדרה חשבונית: המשוואה 2a_n + d = 108 (כי 216 חלקי 2=108). הצביע במקום d=18 - a_n מהמשוואה הראשונה. קבל משוואה ריבועית ב-a_n: 18^2 - a_n^2 = 58 ופתור אותה.
  • הבנת כמות האיברים בסדרה עם אינדקסים מיוחדים: סמן את איברי הסדרה לפי k כ-- a_1 + (k-1)d. השתמש בנוסחת סכום הסדרה. קבל ונוסח במשוואה ריבועית: 6k^2 - 15k - 450 = 0. פתור את המשוואה וקבל k=10.
  • פתרון שאלה מבגרות בנושא סדרות חשבוניות עם אינדקסים מורכבים: נשתמש בנוסחה a_n = a_1 + (k-1)d, כאשר a_1 = -21, d = 12. סכום האיברים S = k/2 * (2a_1 + (k-1)d) = 450. כפול ונקבל משוואה ריבועית ב-k: 6k^2 - 15k - 450 = 0. פתור את המשוואה וקבל k = 10.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.