השיעור דן בפתרון שאלה הבוחנת סדרה מספרית לינארית המוגדרת על ידי ביטוי קשור בין איבריה. נלמד איך לחשב איברים מרכזיים בסדרה, להוכיח תכונות של תת-סדרות חשבוניות ולחשב סכום איברים במקומות אי זוגיים וזוגיים.
להבין את ההגדרה של הסדרה הנתונה והביטוי המתמטי הקושר בין איבריה
לחשב איברים במקומות מסוימים (לאמצע) בסדרה הנתונה
להוכיח שתת-סדרות באיברים הזוגיים והאי זוגיים הן סדרות חשבוניות
לחבר משוואות המתארות את הסדרות המשניות ולחשב את הפרשן
לחשב סכום של איברים במקומות אי זוגיים וזוגיים בסדרה
לזהות טעויות נפוצות בפתרון שאלות מסוג זה
הגדרת הסדרה ונתונים: הסדרה מוגדרת כך שלכל n מתקיים שהסכום של A_n ו-A_(n+1) שווה ל-4n + 2. מספר האיברים הוא 100 או 101, ויש לחשב איברים ספציפיים ומאפיינים שונים.
חישוב איברים במקומות האמצעיים: מציאת הערך של האיברים במקומות האמצעיים A_50 ו-A_51 באמצעות הצבה במקום n=50 ומשוואה ידועה.
הוכחת סדרות משניות חשבוניות: מוכיחים שהתת-סדרות של האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים הן סדרות חשבוניות עם הפרש קבוע 4.

תרגול קצר

חישוב A50 ו-A51 בסדרה נתונה

רמת קושי: קל

ממתין

בהינתן שכאשר n הוא מספר טבעי מתקיים A_n + A_{n+1} = 4n + 2, ומספר האיברים בסדרה הוא 100, חשב את סכום A50 ו-A51.

סדרותאיברים במקומות אמצעיים

רמז: הצבי n = 50 בביטוי וקבל את הערך.

פתרון מלא

תשובה סופית: 202

ע"פ הנתון: A_50 + A_51 = 4*50 + 2 = 202.

הוכחת סדרה חשבונית לתת-סדרות הזוגיות והאי זוגיות

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן את הסדרה עם A_n + A_{n+1} = 4n + 2, הוכח שתת-הסדרות של האיברים במקומות הזוגיים ואי הזוגיים הן סדרות חשבוניות עם הפרש קבוע.

הוכחותסדרות חשבוניות

רמז: הציב n ו-n+1 בביטוי הקשר ובחן את ההפרש בין איברי התת-סדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: תת-הסדרות הזוגיות והאי זוגיות הן סדרות חשבוניות עם הפרש 4.

נציב n ו-n+1 ונמצא הפרש קבוע של 4 לכל אחת מהתת-סדרות. לכן, הן סדרות חשבוניות עם הפרש 4.

חישוב סכום איברים במקומות אי זוגיים וסידור איברים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בסדרה שבה A_n + A_{n+1} = 4n + 2 ומספר האיברים 101, חשב את סכום האיברים במקומות אי זוגיים.

סכום סדרהאיברים אי זוגייםסדרה חשבונית

רמז: השתמש בנוסחת סכום סדרה חשבונית אחרי זיהוי תת-הסדרה והפרשים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 5304

מזהים שכמות איברים אי זוגיים היא 51. ספר האיברים הראשון A1=4, d=4. מחשבים את A51 = A1+(51-1)d=4+50*4=204. סכום = (51/2)(4+204)= (25.5)*208=5304.

פתרון שאלה 2 מ'חורף 2015 שאלון 806 581'

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן סדרה שבה A_n + A_{n+1} = 4n + 2 עם 100 איברים, חשב את סכום האיברים במקומות הזוגיים והאי זוגיים והוכח שתת-הסדרות הן סדרות חשבוניות.

בגרותסדרותהוכחות

רמז: חלק את הסדרה לתת-סדרות לפי מיקום, הוכח הפרש קבוע, ואז השתמש בנוסחאות סכום.

פתרון מלא

תשובה סופית: סכום האיברים במקומות אי זוגיים 5304, בתת-הסדרה הזוגית סכום מתאים עם הפרש 4.

קודם הוכחנו שתת-הסדרות הזוגיות והאי זוגיות הן חשבוניות עם הפרש 4. חישבנו איברים ראשונים: A1=4, A2=2. עבור תת-הסדרה אי זוגית: n=51, הסכום (51/2)(4 + 204) = 5304. עבור תת-הסדרה זוגית חישוב דומה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון שאלה 2 – איתור סכום איברים מרכזיים בסדרה

חורף 2015 שאלון 806 581

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא s = A_50 + A_51
נתון 1
נתון 1
A_n + A_n+1 = 4n + 2
נתון 2
מספר איברים בסדרה: 100
רעיון
הרעיון המרכזי
נציב n=50 בביטוי ונחשב את סכום האיברים במקומות האמצעיים ישירות.
נוסחה
נכתוב: A_50 + A_51 = 4*50 + 2
A_50 + A_51 = 4 * 50 + 2A_50 + A_51 = 4*50 + 2A_50 + A_51 = 4 x 50 + 2
משוואה
קיים ביטוי בין האיברים: A_n + A_{n+1} = 4n + 2, ויש 100 איברים בסדרה
קיים ביטוי בין האיברים: A_n + A_{n+1} = 4n + 2, ויש 100 איברים בסדרה
פישוט
נחשב 4*50 = 200 וכן 200 + 2 = 202
נחשב 4*50 = 200 וכן 200 + 2 = 202
תוצאה
מסיימים בתשובה
הסכום הוא 202

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הנוסחה והמספרים

מה עושים

קיים ביטוי בין האיברים: A_n + A_{n+1} = 4n + 2, ויש 100 איברים בסדרה

למה

יש להבין את ההגדרה של הסדרה כדי לחשב איברים ספציפיים

הגדרה בסיסית לסדרה וקביעת מספר האיברים

בחירת שיטה

הצבת ערך n

מה עושים

נציב n = 50 בנוסחה A_n + A_{n+1}

למה

כדי למצוא את סכום האיברים ה-50 וה-51

הבנת נקודת החישוב המדוייקת

בניית משוואה

הצבה בנוסחה

מה עושים

נכתוב: A_50 + A_51 = 4*50 + 2

למה

להחליף את n בביטוי המתמטי

הצבה פשוטה בערכים

נוסחה / הצבה

A_50 + A_51 = 4 * 50 + 2A_50 + A_51 = 4*50 + 2A_50 + A_51 = 4 x 50 + 2

פתרון

חישוב הערך

מה עושים

נחשב 4*50 = 200 וכן 200 + 2 = 202

למה

כדי לקבל את התוצאה המספרית

פישוט ביטוי מתמטי

תשובה

סכום האיברים במקומות האמצעיים

מה עושים

הסכום הוא 202

למה

זהו הערך המחושב לפי ההצבה

התוצאה הסופית של התרגיל

פתרונות כלליים

חישוב A50 ו-A51 בסדרה נתונה: ע"פ הנתון: A_50 + A_51 = 4*50 + 2 = 202.
הוכחת סדרה חשבונית לתת-סדרות הזוגיות והאי זוגיות: נציב n ו-n+1 ונמצא הפרש קבוע של 4 לכל אחת מהתת-סדרות. לכן, הן סדרות חשבוניות עם הפרש 4.
חישוב סכום איברים במקומות אי זוגיים וסידור איברים: מזהים שכמות איברים אי זוגיים היא 51. ספר האיברים הראשון A1=4, d=4. מחשבים את A51 = A1+(51-1)d=4+50*4=204. סכום = (51/2)(4+204)= (25.5)*208=5304.
פתרון שאלה 2 מ'חורף 2015 שאלון 806 581': קודם הוכחנו שתת-הסדרות הזוגיות והאי זוגיות הן חשבוניות עם הפרש 4. חישבנו איברים ראשונים: A1=4, A2=2. עבור תת-הסדרה אי זוגית: n=51, הסכום (51/2)(4 + 204) = 5304. עבור תת-הסדרה זוגית חישוב דומה.

הפריט הקודם הפריט הבא

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא s = A_50 + A_51

נתון 1

מספר איברים בסדרה: 100

הרעיון המרכזי

נכתוב: A_50 + A_51 = 4*50 + 2

קיים ביטוי בין האיברים: A_n + A_{n+1} = 4n + 2, ויש 100 איברים בסדרה

נחשב 4*50 = 200 וכן 200 + 2 = 202

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הנוסחה והמספרים

הצבת ערך n

הצבה בנוסחה

חישוב הערך

סכום האיברים במקומות האמצעיים

פתרונות כלליים