בפתרון זה לומדים כיצד לחשב הסתברויות במקרה של בחירה באקראי מתוך קבוצות, ולהשתמש בהסתברויות מותנות כדי לחשב את ההסתברות עבור אירוע מסוים בהתחשב במגבלות ידועות.
לחשב הסתברות להצבה מדויקת של שני גברים ושתי נשים בקבוצה בת 4 אנשים.
להבין ולהשתמש בקומבינטוריקה לתיאור סידורים אפשריים.
לחשב הסתברויות מותנות ואירועים מורכבים עם סינון נתונים (לא יותר משני גברים).
הצגת הבעיה: בחירת שתי קבוצות של 4 אנשים כל אחת מתוך אוכלוסייה שבה ההסתברות לגבר היא 2/3 ולנשים 1/3, ודרישה שכל קבוצה תכיל בדיוק שני גברים.
חשבון ההסתברויות: שימוש בהתפלגות בינומיאלית ובקומבינטוריקה למציאת ההסתברות שכל קבוצה תכיל בדיוק שני גברים.
הסתברויות מותנות: הבנת המצב בו נתון ש'בקבוצה שנבחרה היו לכל היותר שני גברים' וחישוב ההסתברות המדויקת שנבחרו בדיוק שני גברים תוך התחשבות במידע זה.

תרגול קצר

הסתברות לבחור קבוצה עם שני גברים ושני נשים

רמת קושי: קל

ממתין

ישנה קבוצה בת 4 אנשים, בה ההסתברות שכל אדם הוא גבר היא 2/3, ואישה 1/3. מה ההסתברות שבקבוצה יהיו בדיוק שני גברים ושתי נשים?

הסתברותבינומיאליתטריוויאלי

רמז: השתמש בתפלגות בינומיאלית: הסתברות לבחור k גברים מתוך n עם הסתברות הצלחה p.

פתרון מלא

תשובה סופית: 8/27

הסתברות לבחור בדיוק שני גברים מתוך ארבעה עם p=2/3 היא C(4,2)*(2/3)^2*(1/3)^2 = 6 * 4/9 * 1/9 = 24/81 = 8/27.

הסתברות ששתי קבוצות יהיו עם בדיוק שני גברים כל אחת

רמת קושי: בינוני

ממתין

בוחרים שתי קבוצות בלתי תלויות, כל קבוצה בת 4 אנשים, באקראי מאוכלוסייה שבה ההסתברות לאדם להיות גבר היא 2/3 ואישה 1/3. מה ההסתברות שבשתי הקבוצות יהיו בדיוק שני גברים בכל קבוצה?

הסתברותבינומיאליתכפולהאוטונומית

רמז: חשב תחילה את ההסתברות לקבוצה אחת, ואז העלה בריבוע כי הקבוצות בלתי תלויות.

פתרון מלא

תשובה סופית: 64/729

לפי התרגיל הבסיסי: ההסתברות לקבוצה אחת = 8/27. ההסתברות ששתי הקבוצות יקיימו את התנאי היא (8/27)^2 = 64/729.

הסתברות מותנת של בחירת בדיוק שני גברים בקבוצה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

ידוע כי בקבוצה שנבחרה מהריאיון ברדיו היו 'לכל היותר שני גברים'. מה ההסתברות שהיו בדיוק שני גברים בקבוצה זו?

הסתברות מותנתבינומיאליתפישוט

רמז: חשב את ההסתברויות שבקבוצה יהיו 0,1, או 2 גברים, וחלק את ההסתברות בדיוק שני גברים בהסתברות הכוללת שהיו לכל היותר שני גברים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 8/11

P(2 גברים) = C(4,2)*(2/3)^2*(1/3)^2 = 8/27. P(1 גבר) = C(4,1)*(2/3)^1*(1/3)^3 = 4 * 2/3 * 1/27 = 8/81. P(0 גברים) = C(4,0)*(2/3)^0*(1/3)^4 = 1 * 1 * 1/81 = 1/81. סה"כ P(לכל היותר שני גברים) = 8/27 + 8/81 + 1/81 = 8/27 + 9/81 = 8/27 + 1/9 = 8/27 + 3/27 = 11/27. הסתברות מותנת = P(2 גברים) / P(לכל היותר שני גברים) = (8/27)/(11/27) = 8/11.

שאלה בסגנון בגרות: הסתברות לבחירת שני גברים בדיוק בקבוצה

רמת קושי: בגרות

ממתין

באוכלוסייה שבה ההסתברות לאדם להיות גבר היא 2/3 ולהיות אישה 1/3, מתוך קבוצה של 4 אנשים נבחרת באקראי, מה ההסתברות לבחור בדיוק שני גברים?

הסתברותבינומיאליתבגרות

רמז: השתמש בנוסחת התפלגות בינומיאלית.

פתרון מלא

תשובה סופית: 8/27

מספר הדרכים לבחור 2 גברים מתוך 4 הוא C(4,2)=6. הסתברות שתנאים אלו יתקיימו היא 6*(2/3)^2*(1/3)^2 = 6*4/9*1/9 = 24/81 = 8/27.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון – הסתברות לבחירת שני גברים ושתי נשים בקבוצה

הסתברות מדויקת של התפלגות מגדרית בקבוצה בת 4 אנשים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ההסתברות שבקבוצה בדיוק שני גברים ושתי נשים
נתון 1
קבוצה בת 4 אנשים
רעיון
הרעיון המרכזי
לחשב את ההסתברות המדויקת באמצעות התפלגות בינומיאלית ושימוש בקומבינציות.
נוסחה
מחשב את ההסתברות המדויקת: C(4,2)*(2/3)^2*(1/3)^2
P = 6 * (2/3)^2 * (1/3)^2P = 6 x ((2)/(3))^2 x ((1)/(3))^2
משוואה
חשב את הערך: 6 * 4/9 * 1/9 = 24/81 = 8/27
חשב את הערך: 6 * 4/9 * 1/9 = 24/81 = 8/27
פישוט
הסתברות לגבר היא 2/3 ולאישה 1/3, הקבוצה מכילה 4 אנשים
הסתברות לגבר היא 2/3 ולאישה 1/3, הקבוצה מכילה 4 אנשים
תוצאה
מסיימים בתשובה
התוצאה היא 8 חלקי 27
בדיקה
בדיקה קצרה
- הבנת המושג של התפלגות בינומיאלית
- הבנת שימוש בקומבינטוריקה
- זהירות: בלבול בין קומבינציה לפרמוטציה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הבנת נתוני הבעיה

מה עושים

הסתברות לגבר היא 2/3 ולאישה 1/3, הקבוצה מכילה 4 אנשים

למה

לידיעת ההסתברויות הבסיסיות וחלוקת האוכלוסייה.

הסתברויות הפרט הן נתוני בסיס להבנה וצורך בחישוב ההתפלגות.

בחירת שיטה

בחירת שתי נשים ושני גברים

מה עושים

לחשב את מספר הדרכים לבחור 2 גברים מתוך 4

למה

כדי לדעת את מספר התצורות האפשריות של ההתפלגות בקבוצה

משתמשים בקומבינציה בחישוב C(4,2).

נוסחה / הצבה

C(4, 2) = 6C(4,2) = 642 = 6

קומבינציה היא כלי חשוב לחישוב מספר הדרכים.

בניית משוואה

בחישוב הסתברות ההתפלגות

מה עושים

מחשב את ההסתברות המדויקת: C(4,2)*(2/3)^2*(1/3)^2

למה

כדי לקבל את ההסתברות המדויקת שהקבוצה מכילה בדיוק 2 גברים ו-2 נשים

נוסחה לתפלגות בינומיאלית עם p=2/3 ל'גבר'.

נוסחה / הצבה

P = 6 * (2/3)^2 * (1/3)^2P = 6 x ((2)/(3))^2 x ((1)/(3))^2

הסיוע של חזקות ההסתברות משמעותי.

פתרון

פישוט התוצאה

מה עושים

חשב את הערך: 6 * 4/9 * 1/9 = 24/81 = 8/27

למה

לקבלת התוצאה המספרית הסופית

פישוט חזקות ושברים לנוסחה פשוטה.

שימו לב לפישוט מדויק של השברים.

תשובה

תוצאה סופית

מה עושים

התוצאה היא 8 חלקי 27

למה

זו ההסתברות המדויקת שהיו בדיוק שני גברים ושתי נשים בקבוצה

P(2 גברים, 2 נשים) = 8/27

פתרונות כלליים

הסתברות לבחור קבוצה עם שני גברים ושני נשים: הסתברות לבחור בדיוק שני גברים מתוך ארבעה עם p=2/3 היא C(4,2)*(2/3)^2*(1/3)^2 = 6 * 4/9 * 1/9 = 24/81 = 8/27.
הסתברות ששתי קבוצות יהיו עם בדיוק שני גברים כל אחת: לפי התרגיל הבסיסי: ההסתברות לקבוצה אחת = 8/27. ההסתברות ששתי הקבוצות יקיימו את התנאי היא (8/27)^2 = 64/729.
הסתברות מותנת של בחירת בדיוק שני גברים בקבוצה: P(2 גברים) = C(4,2)*(2/3)^2*(1/3)^2 = 8/27. P(1 גבר) = C(4,1)*(2/3)^1*(1/3)^3 = 4 * 2/3 * 1/27 = 8/81. P(0 גברים) = C(4,0)*(2/3)^0*(1/3)^4 = 1 * 1 * 1/81 = 1/81. סה"כ P(לכל היותר שני גברים) = 8/27 + 8/81 + 1/81 = 8/27 + 9/81 = 8/27 + 1/9 = 8/27 + 3/27 = 11/27. הסתברות מותנת = P(2 גברים) / P(לכל היותר שני גברים) = (8/27)/(11/27) = 8/11.
שאלה בסגנון בגרות: הסתברות לבחירת שני גברים בדיוק בקבוצה: מספר הדרכים לבחור 2 גברים מתוך 4 הוא C(4,2)=6. הסתברות שתנאים אלו יתקיימו היא 6*(2/3)^2*(1/3)^2 = 6*4/9*1/9 = 24/81 = 8/27.

הפריט הקודם הפריט הבא

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3

ניווט לפי נושאים

פתרונות של בגרויות

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ההסתברות שבקבוצה בדיוק שני גברים ושתי נשים

קבוצה בת 4 אנשים

הרעיון המרכזי

מחשב את ההסתברות המדויקת: C(4,2)*(2/3)^2*(1/3)^2

חשב את הערך: 6 * 4/9 * 1/9 = 24/81 = 8/27

הסתברות לגבר היא 2/3 ולאישה 1/3, הקבוצה מכילה 4 אנשים

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הבנת נתוני הבעיה

בחירת שתי נשים ושני גברים

בחישוב הסתברות ההתפלגות

פישוט התוצאה

תוצאה סופית

פתרונות כלליים

מחשב את ההסתברות המדויקת: C(4,2)(2/3)^2(1/3)^2