MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד א

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
18 פריטים קודמים בנושא
וידאו

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3

וידאו

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4

וידאו

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 8

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 6 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3

סיכום שיעור

  • בשיעור זה נלמד לפתור שאלה בסדרה הנדסית יורדת עם איברים התלויים באיברים לפני ואחרי, ונמצא את המנה ואת סכום הסדרה.
  • להבין סדרות הנדסיות עם קשר בין איברים סמוכים
  • לעבוד עם סדרות אין סופיות יורדות ומתכנסות
  • לפתור משוואות לריבוע למציאת המנה
  • לחשב סכום סדרה אינסופית בהינתן a1 ו-q
  • להשתמש בהגדרות וביחסים בין איברי הסדרה כדי לפתור תרגילים מורכבים
  • זיהוי הסדרה והנוסחה המרכזית: נתון כי הסדרה היא סדרה הנדסית אין סופית יורדת. האיבר an שווה לשתי חמישיות מסכום האיבר לפניו ואחרי.
  • חישוב המנה q: הגדרת היחס בין a_n-1 ל-a_n כ-a_n חלקי q, והיחס בין a_n+1 ל-a_n כ-a_n כפול q מובילה למשוואה לריבוע לפתרון q.
  • הגדרת סדרה חדשה b_n וחישוב המנה שלה: הסדרה החדשה b_n מוגדרת כ-an+1 חלקי an בריבוע ונבדקת כהנדסית חדשה עם המנה שלה.
  • חישוב סכום והקשר בין a1 ל-b1: הנתון שסכום הסדרה b_n הוא 2460 מוביל למעבר לחישוב b1 ואז למציאת a1 והמשך חישוב הסכום של הסדרה a_n

תרגול קצר

מציאת המנה q בסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

בנתונה סדרה הנדסית שבה כל איבר הוא שתי חמישיות מסכום האיבר שלפניו והאיבר שאחריו. מצא את המנה q של הסדרה.

סדרותסדרה הנדסיתחזרה על משוואות

רמז: הנח את an כחוליה, ובטא את an-1 ו-an+1 בהתייחס ל-an ול-q. כתוב משוואה, וצמצם.

פתרון מלא

תשובה סופית: q = 1/2 (כי הסדרה יורדת ומתכנסת, הפתרון בין 0 ל-1)

נניח an הוא איבר כלשהו. אז an-1 = an חלקי q, ו an+1 = an כפול q. לפי הנתון an = 2/5 (an-1 + an+1). נציב ונקבל an = 2/5 (an/q + an q). נחלק ב an ונקבל 1 = 2/5 (1/q + q). נביא לאותו מכנה ונקבל משוואה ריבועית ב q: 2q^2 - 5q + 2 = 0.

חישוב a1 מתוך סכום סדרה חדשה

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונה סדרה חדשה b_n = an+1 / an^2, כאשר an היא סדרה הנדסית עם מנה q = 1/2. ידוע שסכום הסדרה b_n הוא 2460. חשב את a1.

סדרותסדרה הנדסיתחישוב a1חיבור סדרות

רמז: בטא את b1 והשתמש בסכום סדרה הנדסית על b_n לקבלת b1, ואז מצא a1 מתוך ההגדרה של b_n.

פתרון מלא

תשובה סופית: a1 = 1/2460

הבנו כי b1 = 1 חלקי (2 a1). סכום הסדרה הנדסית הוא b1 / (1 - q) = 2460, כאשר q = 1/2. נחפש b1: 2460 = b1 / (1/2) ⇒ b1 = 1230. לפי ההגדרה, b1 = 1 / (2 a1), נשווה: 1/(2 a1) = 1230. נכפיל ונמצא 2 a1 = 1/1230 ⇒ a1 = 1/2460.

חישוב סכום של סדרה הנדסית יורדת

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה סדרה הנדסית a_n עם איבר ראשון a1 ועם מנה q=1/2. אם a1 = 1/4, חישב את סכום כל איברי הסדרה.

סדרותסכום סדרה הנדסיתבגרות

רמז: השתמש בנוסחת סכום לסדרה אינסופית עם |q|<1: S = a1 / (1 - q)

פתרון מלא

תשובה סופית: S = 1/2

נציב בנוסחה: S = (1/4) / (1 - 1/2) = (1/4) / (1/2) = (1/4) * 2 = 1/2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל - חישוב המנה q בסדרה

שאלה מסדרה הנדסית יורדת - מציאת המנה q

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא מצא את המנה q של הסדרה

  2. נתון 1

    נתון 1

    an סדרה הנדסית עם יחס בין איברים: an = 2/5 (an-1 + an+1)
  3. נתון 2

    הסדרה מתכנסת ויורדת

  4. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נבטא את an-1 ו-an+1 ביחס ל-an ול-q, נציב במשוואה ונפתור עבור q.

  5. נוסחה

    מביאים את המשוואה לצורת 2q^2 - 5q + 2 = 0 ומפתרים

    2q^2 - 5q + 2 = 02q^(2) - 5q + 2 = 0
  6. משוואה

    מחלקים ב-an ומשיגים 1 = 2/5 (1/q + q)

    מחלקים ב-an ומשיגים 1 = 2/5 (1/q + q)

    1 = 2/5 (1/q + q)1 = (2)/(5) ( (1)/(q) + q )
  7. פישוט

    מתוך שני הפתרונות בוחרים q = 1/2 כי הסדרה מתכנסת ויורדת

    מתוך שני הפתרונות בוחרים q = 1/2 כי הסדרה מתכנסת ויורדת

  8. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    נניח an-1 = an חלקי q, ו-an+1 = an כפול q

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת היחסים בין האיברים

מה עושים

נניח an-1 = an חלקי q, ו-an+1 = an כפול q

למה

כך אפשר להציג את האיברים הסמוכים באמצעות an והמנה q

יהיה שימוש בפרמטר q שמגדיר את יחס הגדילה/הקטנה בין איברים

2

בחירת שיטה

הצבת היחסים במשוואה

מה עושים

נציב במשוואה an = 2/5 (an-1 + an+1) ונקבל an = 2/5 (an/q + an*q)

למה

להכין משוואה שמכילה רק את q ו-an כדי למצוא q

ביטוי זה יאפשר צמצום ופתרון למשוואה של q

3

בניית משוואה

צמצום המשוואה

מה עושים

מחלקים ב-an ומשיגים 1 = 2/5 (1/q + q)

למה

למקד את המשוואה על q בלבד

מה שמשאיר משוואה ריבועית שניתן לפתור

נוסחה / הצבה

1 = 2/5 (1/q + q)1 = (2)/(5) ( (1)/(q) + q )

חשוב לזכור לחלק ל-an בהנחה ש-an לא אפס

4

פתרון

פתרון המשוואה הריבועית

מה עושים

מביאים את המשוואה לצורת 2q^2 - 5q + 2 = 0 ומפתרים

למה

למצוא ערכי q שעונים על התנאים

ניתן להשתמש בנוסחת השורשים או פירוק לאיברים

נוסחה / הצבה

2q^2 - 5q + 2 = 02q^(2) - 5q + 2 = 0
5

פתרון

בחירת הפתרון המתאים

מה עושים

מתוך שני הפתרונות בוחרים q = 1/2 כי הסדרה מתכנסת ויורדת

למה

רק פתרון זה מתאים לתנאי הסדרה

הפתרון השני גדול מ-1 ולכן לא מתאים

פתרונות כלליים

  • מציאת המנה q בסדרה: נניח an הוא איבר כלשהו. אז an-1 = an חלקי q, ו an+1 = an כפול q. לפי הנתון an = 2/5 (an-1 + an+1). נציב ונקבל an = 2/5 (an/q + an q). נחלק ב an ונקבל 1 = 2/5 (1/q + q). נביא לאותו מכנה ונקבל משוואה ריבועית ב q: 2q^2 - 5q + 2 = 0.
  • חישוב a1 מתוך סכום סדרה חדשה: הבנו כי b1 = 1 חלקי (2 a1). סכום הסדרה הנדסית הוא b1 / (1 - q) = 2460, כאשר q = 1/2. נחפש b1: 2460 = b1 / (1/2) ⇒ b1 = 1230. לפי ההגדרה, b1 = 1 / (2 a1), נשווה: 1/(2 a1) = 1230. נכפיל ונמצא 2 a1 = 1/1230 ⇒ a1 = 1/2460.
  • חישוב סכום של סדרה הנדסית יורדת: נציב בנוסחה: S = (1/4) / (1 - 1/2) = (1/4) / (1/2) = (1/4) * 2 = 1/2.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.