MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פתרונות של בגרויות

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4 מועד א

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
20 פריטים קודמים בנושא
וידאו

חורף 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 8

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 4 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 6 מועד א

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1 מועד ב

וידאו

קיץ 2015 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2 מועד ב

וידאו

חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 1

וידאו

חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 2

וידאו

חורף 2016 שאלון 806 581 פתרון שאלה 3

סיכום שיעור

  • שיעור זה עוסק בפתרון שאלה בגיאומטריה במעגל, הכוללת הוכחת מקבילות בעזרת זוויות מתאימות, וכן הוכחת דמיון משולשים ורפליקציות של פרופורציות הנובעות מדמיון זה.
  • להבין משיקים למעגל ומשמעותם בגיאומטריה
  • להכיר זוויות מתאימות ומקבילות והקשר ביניהן
  • להוכיח דמיון בין משולשים באמצעות זוויות
  • לאמץ שימוש בפרופורציות הנובעות מדמיון משולשים לפתרון בעיות
  • משיקים למעגל וזוויות מתאימות: משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים באורכם, נוצר דלתון. בעזרת זוויות משיקים ומרכז המעגל ניתן להראות מקבילות בין קטעים.
  • דמיון משולשים וחישובי פרופורציות: משולשים שבהם שתי זוויות שוות הינם דומים. ניתן להוכיח דמיון משולשים חשובים באמצעות זוויות ישרות וזווית משותפת, ולהשתמש בפרופורציות בין צדדים לפתרון בעיות גיאומטריות מורכבות.

תרגול קצר

הוכחת מקבילות בין קטעים במעגל

רמת קושי: קל

ממתין

במעגל מרכזו O, ידוע כי PA ו-PB הם שני משיקים היוצאים מאותה נקודה P. הקטע BO חותך את המעגל בנקודה D. הוכח כי הקטע PO מקביל לקטע AD.

מקביליותזוויות מתאימותמשיקים למעגל

רמז: חשב זוויות מתאימות על פי התכונות של משיקים למעגל והשתמש בזווית אלפא.

פתרון מלא

תשובה סופית: הוכח כי PO מקביל ל-AD בהסתמך על זוויות מתאימות של משיקים למעגל.

נגדיר זווית אלפא מסוימת כך שנראה שהזווית בקטע PO שווה לזווית בקטע AD. כל זוויות המשיקים שוות הן לפי התכונות של משיקים למעגל. נובע ש-PO מקביל ל-AD עקב זוויות מתאימות שוות.

הוכחת דמיון בין משולשים

רמת קושי: בינוני

ממתין

במעגל מסוים נקודה C נמצאת על הקוטר DB כך ש-AC אנכי ל-DB. הוכח כי המשולש ADC דומה למשולש POB.

דמיון משולשיםזוויות ישרותמשיקים

רמז: השתמש בזוויות ישרות וזוויות משותפות להוכחת דמיון לפי זווית-זווית (ZZ).

פתרון מלא

תשובה סופית: המשולשים ADC ו-POB דומים על פי זווית-זווית.

משולש ADC כולל זווית ישרה, זווית אלפא ו-90 מינוס אלפא. משולש POB כולל אותן זוויות בזויות תואמות. על כן, לפי ZZ המשולשים דומים.

פרופורציות בגיאומטריה של המעגל

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בהינתן נקודות וקטעים במעגל, מצא את היחס בין AC ו-DC והקשר שלה ל-PB ו-OB, כאשר OB = R ו-DB = 2R.

פרופורציותרדיוסדמיון משולשים

רמז: השתמש בפרופורציות הנובעות מדמיון בין משולשים והחלף באורכי הרדיוס.

פתרון מלא

תשובה סופית: יחס AC ל-DC קשור לפרופורציות של PB ו-OB בהתחשב ב-Radius R ו-2R.

נרשום את הפרופורציות לפי הדמיון ונחליף את אורכי OB ו-DB לפי הרדיוס R. נקבל כי AC = DC כפול PB חלקי OB, וכן EC = PB כפול DC חלקי 2R. חלקו את המשוואות לקבלת תוצאה יחסית.

מבוא לפתרון שאלה 4 מועד א

רמת קושי: בגרות

ממתין

פתור את סעיפי השאלה על מנת להוכיח מקבילות, דמיון ומשוואות פרופורציה בהתאם ללשון השאלה.

פתרון שאלהבגרותמקביליותדמיון

רמז: עקוב אחר הוכחות הזוויות וצייר את המשולשים. בדוק דמיון לפי ZZ ופרופורציות בין הצלעות.

פתרון מלא

תשובה סופית: הוקמו מקבילות, דמיון ומשוואות פרופורציה כמתואר בשאלה.

שלב ראשון - הוכחת מקבילות PO ו-AD באמצעות זוויות מתאימות. שלב שני - הוכחת דמיון משולשים ADC ו-POB לפי זווית זווית. שלב שלישי - שימוש בפרופורציות במשולשים דומים לחישוב יחס בין AC ו-DC.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון הוכחת מקבילות במעגל

הוכחת מקבילות בין קטעים PO ו-AD במעגל

8 תחנות4 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא הוכחת מקבילות בין PO ל-AD

  2. נתון 1

    PA, PB משיקים למעגל שמרכזו O

  3. נתון 2

    משיקים היוצאים מאותה נקודה שווים בגודלם

  4. נתון 3

    BO נמשך אל נקודה D על המעגל

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להראות כי קיימת זוג זוויות מתאימות שוות בין PO ל-AD, ולהסיק מקביליות.

  6. נוסחה

    מוכיחים שזווית בקטע PO שווה לזווית בקטע AD

    alpha = alphaזווית אלפא ב-PO = זווית אלפא ב-AD=
  7. משוואה

    נבנה משוואה

    מציבים את הנתונים במשוואה.

  8. פישוט

    מסקנה מיזוג הזוויות המתאימות כי PO מקביל ל-AD

    מסקנה מיזוג הזוויות המתאימות כי PO מקביל ל-AD

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

המשיקים שווים ומרכז המעגל

מה עושים

זיהוי PA ו-PB כמשיקים היוצאים מנקודה P

למה

משיקים היוצאים מאותה נקודה שווים ויוצרים זוויות מעניינות בגיאומטריה של המעגל

PA ו-PB משיקים למעגל והם שווים באורכם

2

בחירת שיטה

הצבת זווית אלפא לזיהוי מקבילות

מה עושים

מגדירים זווית אלפא בין הקטעים הרלוונטיים במעגל

למה

זוויות שוות בצמתי המשיקים מאפשרות להראות מקביליות

הגדרת זווית אלפא שווה בשני קטעים במעגל

3

בניית משוואה

זוויות מתאימות שוות

מה עושים

מוכיחים שזווית בקטע PO שווה לזווית בקטע AD

למה

זוויות מתאימות שוות מצביעות על מקביליות הקטעים

שימוש בתכונת זוויות משיקים

נוסחה / הצבה

alpha = alphaזווית אלפא ב-PO = זווית אלפא ב-AD=
4

פתרון

הוכחת מקבילות קטעים

מה עושים

מסקנה מיזוג הזוויות המתאימות כי PO מקביל ל-AD

למה

זוויות מתאימות שוות מביאות למסקנה שהקטעים הם מקבילים

PO מקביל ל-AD בשל קיום זוויות מתאימות שוות

פתרונות כלליים

  • הוכחת מקבילות בין קטעים במעגל: נגדיר זווית אלפא מסוימת כך שנראה שהזווית בקטע PO שווה לזווית בקטע AD. כל זוויות המשיקים שוות הן לפי התכונות של משיקים למעגל. נובע ש-PO מקביל ל-AD עקב זוויות מתאימות שוות.
  • הוכחת דמיון בין משולשים: משולש ADC כולל זווית ישרה, זווית אלפא ו-90 מינוס אלפא. משולש POB כולל אותן זוויות בזויות תואמות. על כן, לפי ZZ המשולשים דומים.
  • פרופורציות בגיאומטריה של המעגל: נרשום את הפרופורציות לפי הדמיון ונחליף את אורכי OB ו-DB לפי הרדיוס R. נקבל כי AC = DC כפול PB חלקי OB, וכן EC = PB כפול DC חלקי 2R. חלקו את המשוואות לקבלת תוצאה יחסית.
  • מבוא לפתרון שאלה 4 מועד א: שלב ראשון - הוכחת מקבילות PO ו-AD באמצעות זוויות מתאימות. שלב שני - הוכחת דמיון משולשים ADC ו-POB לפי זווית זווית. שלב שלישי - שימוש בפרופורציות במשולשים דומים לחישוב יחס בין AC ו-DC.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.