השיעור מסביר את המושגים נקודות פיתול, קעירות מעלה ומטה דרך ניתוח נגזרת ראשונה ושנייה. נדונה חשיבות הנגזרת השנייה לזיהוי מוקדי שינוי בקעירות והקשר בין שיפוע המשיק לנקודות פיתול.
להבין מהן נקודות פיתול
להבדיל בין קעירות מעלה ומטה
לזהות נקודות שבהן הנגזרת השנייה משתנה סימן
ליישם נגזרת ראשונה ושנייה למציאת נקודות קיצון ופיתול
להבין את ההבדל בין נקודת קיצון לנקודת פיתול
מבוא לנקודות פיתול: הצגה גרפית של פונקציות עם נקודות קיצון, שיפועים משתנים ונקודות פיתול.
הקשר בין נגזרת שנייה לקעירות: הנגזרת השנייה מודדת את קצב שינוי השיפוע ומאפשרת לקבוע אם הפונקציה קעורה מעלה או מטה.
טכניקות לזיהוי נקודות פיתול: שימוש בנגזרת ראשונה ושנייה למציאת נקודות ביטול המהוות פיתולים בפונקציה.

תרגול קצר

מציאת נקודות קיצון ופיתול

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה f(x)=x^3 - 3x^2 + 4. מצאו את נקודות הקיצון ואת נקודות הפיתול של הפונקציה.

נקודות פיתולנגזרת ראשונהנגזרת שנייה

רמז: חשב את הנגזרת הראשונה והשנייה, ונקה מתי כל אחת שווה לאפס. בדוק את סימן הנגזרת השנייה סביב נקודות האפס של הנגזרת השנייה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות קיצון ב-x=0,x=2; נקודת פיתול ב-x=1.

הנגזרת הראשונה היא f'(x)=3x^2 - 6x. הנגזרת השנייה היא f''(x)=6x - 6. פותרים f'(x)=0 מקבלים x=0 ו-x=2 כנקודות קיצון. פותרים f''(x)=0 מקבלים x=1 כנקודת פיתול. בודקים סימן הנגזרת השנייה סביב x=1: עבור x<1 השלילה, עבור x>1 החיוב, יש שינוי סימן - נקודת פיתול אכן קיימת.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודת פיתול בפונקציה פולינומית

דוגמה לזיהוי נקודת פיתול דרך נגזרת שנייה

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודת פיתול של הפונקציה
נתון 1
נתון 1
f(x)=x^3 - 3x^2 + 4
רעיון
הרעיון המרכזי
נחשב את הנגזרת הראשונה והשנייה, נפתור מתי הנגזרת השנייה שווה לאפס ונבדוק שינוי סימן.
נוסחה
מצא את ערכי x כאשר f''(x)=0
6x - 6 = 0
משוואה
בודד את x
בודד את x
x = 1
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
בדוק סימן של הנגזרת השנייה מימין ומשמאל ל-x=1
בדיקה
בדיקה קצרה
- חשב נגזרת ראשונה ושנייה
- פתור מתי הנגזרת השנייה שווה לאפס
- זהירות: לשכוח לבדוק שינוי סימן בנגזרת השנייה בתוך הסביבה של נקודת האפס

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה

מה עושים

רשום את הפונקציה הנתונה

למה

כדי להתחיל את החישוב צריך את הפונקציה המלאה

f(x)=x^3 - 3x^2 + 4

בחירת שיטה

חשב נגזרת ראשונה ושנייה

מה עושים

גזור את הפונקציה פעמיים

למה

נגזרת ראשונה נותנת שיפוע, נגזרת שנייה נותנת קצב שינוי השיפוע

חשב את f'(x) ו-f''(x)

השתמש בכלל הנגזרת לכוח ומכפלה.

בניית משוואה

פתור נגזרת שנייה שווה לאפס

מה עושים

מצא את ערכי x כאשר f''(x)=0

למה

נקודת שינוי בסימן הנגזרת השנייה היא מועמדת לנקודת פיתול

6x - 6 = 0

נוסחה / הצבה

6x - 6 = 0

פשט את המשוואה לפתרון x.

פתרון

פתור את המשוואה

מה עושים

בודד את x

למה

כדי למצוא את נקודת הפיתול

x=1

נוסחה / הצבה

x = 1

בדיקה

בדוק שינוי סימן של f''

מה עושים

בדוק סימן של הנגזרת השנייה מימין ומשמאל ל-x=1

למה

שינוי סימן מאשר נקודת פיתול

f''(0.5)<0, f''(1.5)>0

בדוק עם ערכים ספקיים סמוכים לנקודה.

תשובה

נקודת הפיתול

מה עושים

סכם שמצאת את נקודת הפיתול

למה

לסיום הפתרון ולהצביע על ממצא מהותי

נקודת פיתול ב-x=1

פתרונות כלליים

מציאת נקודות קיצון ופיתול: הנגזרת הראשונה היא f'(x)=3x^2 - 6x. הנגזרת השנייה היא f''(x)=6x - 6. פותרים f'(x)=0 מקבלים x=0 ו-x=2 כנקודות קיצון. פותרים f''(x)=0 מקבלים x=1 כנקודת פיתול. בודקים סימן הנגזרת השנייה סביב x=1: עבור x<1 השלילה, עבור x>1 החיוב, יש שינוי סימן - נקודת פיתול אכן קיימת.

הפריט הקודם הפריט הבא

א1. נקודות פיתול תחומי קעירות מעלה ומטה

ניווט לפי נושאים

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודת פיתול של הפונקציה

נתון 1

הרעיון המרכזי

מצא את ערכי x כאשר f''(x)=0

בודד את x

מפשטים

מסיימים בתשובה

בדיקה קצרה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה

חשב נגזרת ראשונה ושנייה

פתור נגזרת שנייה שווה לאפס

פתור את המשוואה

בדוק שינוי סימן של f''

נקודת הפיתול

פתרונות כלליים