MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

ד1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם פיתול

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
2 פריטים קודמים בנושא
וידאו

ב1. חקירה מלאה של של פולינום פשוט עם פיתול

וידאו

ג1. חקירה מלאה של של פולינום עם פיתול

וידאו

ג2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ג3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה

וידאו

ד1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם פיתול

וידאו

ד2. פונקצית מנה הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ד3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה

וידאו

ה1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם שורש ועם פיתול

וידאו

ה2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ו. הוכחה חשובה על פונקציה זוגית ואי זוגית

וידאו

ז. שאלה חשובה בנושא קשר בין פונקציה וניגזרותיה

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בחקירה מלאה של פונקציית מנה הכוללת פיתול. נלמד תחום הגדרה, סימטריה, אסימפטוטות אופקיות, חיתוך צירים, נקודות קיצון, נקודות פיתול, ונגזרות ראשונה ושנייה של פונקציה רציונלית.
  • להבין תחום הגדרה של פונקציה רציונלית
  • לזהות סימטריה של פונקציה
  • לחפש אסימפטוטות אופקיות ולקבוע אם קיימות אסימפטוטות אנכיות
  • לבחון חיתוך עם צירי הXY
  • לחשב נגזרת ראשונה ונקודות קיצון
  • לחשב נגזרת שנייה ונקודות פיתול
  • להסביר את סכמת העבודה בצמצום, הפרדה לגורמים, והימנעות מפירוק סוגריים מיותר אגדית
  • תחום הגדרה וסימטריה: תחום ההגדרה הוא כל ממשי כי המכנה תמיד חיובי ולא אפס. הפונקציה זוגית וסימטרית לציר הy.
  • אסימפטוטות אופקיות והתנהגות באינסוף: כאשר x שואף לאינסוף, הפונקציה שואפת לאפס כי חזקה של המכנה גבוהה מזו של המונה.

תרגול קצר

מציאת תחום ההגדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y=4/(x²+3). מצא את תחום ההגדרה שלה.

תחום הגדרהפונקציותרציונליים

רמז: הבטח שהמכנה לא שווה לאפס והחזק בשאלה.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא כל x ∈ ℝ

המכנה הוא x²+3, שהוא תמיד גדול מאפס לכל x ממשי, לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.

חישוב הנגזרת הראשונה

רמת קושי: בינוני

ממתין

חשב את הנגזרת הראשונה של הפונקציה y=4/(x²+3).

נגזרותכלל המנה

רמז: השתמש בכלל המנה: (u/v)' = (u'v - uv')/v²

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = (-8x)/(x²+3)²

u=4, u'=0, v=x²+3, v'=2x. לכן y' = (0*(x²+3) - 4*2x)/(x²+3)² = (-8x)/(x²+3)².

מציאת נקודות קיצון

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את נקודת הקיצון של הפונקציה y=4/(x²+3) וציין את סוגה (מקסימום/מינימום).

נקודות קיצוןנגזרת ראשונהנגזרת שנייה

רמז: מצא נקודה שבה y' שווה לאפס, בדוק סימני הנגזרת השנייה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת הקיצון ב-x=0, סוג: מקסימום מקומי

y' = (-8x)/(x²+3)²=0 ⟹ x=0. y''(0) < 0 ולכן ב-x=0 יש מקסימום מקומי.

בדיקת נקודות פיתול

רמת קושי: בגרות

ממתין

עבור הפונקציה y=4/(x²+3), מצא את נקודות הפיתול, וסמן את הקעירות במחלקות בתחום.

נקודות פיתולנגזרת שנייהחקירת פונקציה

רמז: מצא את נקודות שבהן y''=0 ושנה סימני y'' סביב הנקודה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות פיתול ב-x=1 ו-x=-1; קעור מעלה מחוץ לזה וקעור מטה בין השניים

y'' = (derivative expression). נמצא ש-y''=0 ב-x=±1. מסמנים את הקעירות: x<-1 קעור מעלה, -1<x<1 קעור מטה, x>1 קעור מעלה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חקר הפונקציה y=4/(x²+3) - נקודות פיתול

מדריך צעד-אחר-צעד למציאת נקודות פיתול וחקירת קעירות

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודות פיתול (x) / סוג הקעירות בין הנקודות

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = 4 / (x² + 3)
  3. נתון 2

    נתון 2

    נגזרת ראשונה y' = (-8x)/(x²+3)²
  4. נתון 3

    נגזרת שנייה מחושבת

  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נחשב את הנגזרת השנייה ונמצא היכן היא מתאפסת, נבדוק שינוי סימן כדי לקבוע נקודות פיתול וסוג

  6. נוסחה

    נתונה הפונקציה y=4/(x²+3) ונגזרותיה y', y''.

    y = 4 / (x^2 + 3)y=4/(x²+3)y=(4)/(x^2+3)
  7. משוואה

    y'' מחושבת לפי כלל המנה המורחב.

    y'' מחושבת לפי כלל המנה המורחב.

    y'' = ( -8*(x^2+3)^2 + 32*x^2*(x^2+3) ) / (x^2+3)^4y''=(-8(x^2+3)^2+32x^2(x^2+3))/((x^2+3)^4)
  8. פישוט

    משווים את המונה לאפס ומוצאים x=±1.

    משווים את המונה לאפס ומוצאים x=±1.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה

מה עושים

נתונה הפונקציה y=4/(x²+3) ונגזרותיה y', y''.

למה

נכון להתחיל בבסיס ובהכרת הנתונים המוקדמים.

הפונקציה רציונלית ומכילה מונה קבוע ומכנה ריבועי בתוספת קבוע חיובי.

נוסחה / הצבה

y = 4 / (x^2 + 3)y=4/(x²+3)y=(4)/(x^2+3)

שמור על הנוסחאות לפתרון.

2

בחירת שיטה

הגדרת נקודות פיתול ונקודות אפס של y''

מה עושים

נמצא איפה הנגזרת השנייה מתאפסת כדי לגלות נקודות פיתול.

למה

נקודות אלו מציינות שינוי בקעירות הגרף.

נקודות פיתול הן נקודות שינוי קמירות הגרף, מציאת אפסי y'' חיונית.

בדוק גם את שינוי הסימן סביב נקודות האפס.

3

בניית משוואה

נגזרת שנייה y''

מה עושים

y'' מחושבת לפי כלל המנה המורחב.

למה

y'' מאפשר זיהוי נקודות פיתול ומגמת קעירות.

y'' = (-8(x²+3)² + 32x²(x²+3)) / (x²+3)^4

נוסחה / הצבה

y'' = ( -8*(x^2+3)^2 + 32*x^2*(x^2+3) ) / (x^2+3)^4y''=(-8(x^2+3)^2+32x^2(x^2+3))/((x^2+3)^4)

יש לצמצם ולפשט בקפידה.

4

פתרון

פתרון y'' = 0

מה עושים

משווים את המונה לאפס ומוצאים x=±1.

למה

המונה שווה לאפס היא נקודת אפס של y'' כי המכנה חיובי תמיד.

x=±1 הן נקודות הפיתול.

האזן להתניות תחום ההגדרה.

5

תשובה

סימוני קמירות

מה עושים

אחרי חישוב ערכי y'' בנקודות סביב ±1 קובעים את סוג הקעירות.

למה

שינוי סימן y'' מציין מעבר מקעור מעלה למטה ולהפך בנקודות הפיתול.

x < -1 קעור מעלה, -1 < x < 1 קעור מטה, x > 1 קעור מעלה.

אפשר לסמן חצים או מילים לבחינות.

פתרונות כלליים

  • מציאת תחום ההגדרה: המכנה הוא x²+3, שהוא תמיד גדול מאפס לכל x ממשי, לכן תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים.
  • חישוב הנגזרת הראשונה: u=4, u'=0, v=x²+3, v'=2x. לכן y' = (0*(x²+3) - 4*2x)/(x²+3)² = (-8x)/(x²+3)².
  • מציאת נקודות קיצון: y' = (-8x)/(x²+3)²=0 ⟹ x=0. y''(0) < 0 ולכן ב-x=0 יש מקסימום מקומי.
  • בדיקת נקודות פיתול: y'' = (derivative expression). נמצא ש-y''=0 ב-x=±1. מסמנים את הקעירות: x<-1 קעור מעלה, -1<x<1 קעור מטה, x>1 קעור מעלה.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.