MMATHמרכז הלמידה

מרכז למידה

שאלון 581 · קיץ 2026

וידאו · פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

ג3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
הפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

533 פריטים · 33 נושאים0%
1 פריטים קודמים בנושא
וידאו

א2. נקודות פיתול תחומי קעירות מעלה ומטה

וידאו

ב1. חקירה מלאה של של פולינום פשוט עם פיתול

וידאו

ג1. חקירה מלאה של של פולינום עם פיתול

וידאו

ג2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ג3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה

וידאו

ד1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם פיתול

וידאו

ד2. פונקצית מנה הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ד3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה

וידאו

ה1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם שורש ועם פיתול

וידאו

ה2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה

וידאו

ו. הוכחה חשובה על פונקציה זוגית ואי זוגית

וידאו

ז. שאלה חשובה בנושא קשר בין פונקציה וניגזרותיה

סיכום שיעור

  • בשיעור זה סיכמנו את הקשרים בין פונקציה לנגזרותיה הראשונה והשנייה, כולל התנהגות סימני הנגזרת, נקודות קיצון, נקודות פיתול, ותכונות זוגיות ואי-זוגיות של פונקציה ונגזרותיה.
  • להבין את הקשר בין פונקציה לנגזרת הראשונה והשנייה שלה
  • לזהות מתי הנגזרת חיובית או שלילית בהתבסס על התנהגות הפונקציה
  • להבין מהי נקודת קיצון ונקודת פיתול והקשר לנגזרות
  • להכיר את התכונות של זוגיות ואי-זוגיות בפונקציה ובהופכיות של הנגזרות
  • ללמוד כיצד לבצע בקרה על חישובי נגזרת ומסקנות
  • להבין סימני הנגזרת והשינוי שלהם בנקודות שונות של הפונקציה
  • הקשר בין פונקציה לנגזרת הראשונה: כאשר פונקציה עולה, הנגזרת שלה חיובית, וכאשר היא יורדת, הנגזרת שלילית. בנקודות מקסימום ומינימום הנגזרת מתאפסת ומשנה סימן.
  • נקודות קיצון ונקודות פיתול: נקודות שבהן הנגזרת מתאפסת ומשנה סימן הן נקודות קיצון של הפונקציה. נקודות שבהן הנגזרת השנייה מתאפסת ומשנה סימן הן נקודות פיתול.
  • תכונות זוגיות ואי-זוגיות: אם הפונקציה זוגית, הנגזרת הראשונה אי-זוגית, והנגזרת השנייה שוב זוגית. ולהיפך אם הפונקציה אי-זוגית.

תרגול קצר

זיהוי סימן נגזרת מנקודה על הפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה f(x) שמוצגת בגרף. נקודה A נמצאת בה עלייה. מהו סימן הנגזרת ב-A?

נגזרת ראשונהסימן נגזרתגרפים

רמז: הנגזרת חיובית כאשר הפונקציה עולה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נגזרת חיובית (f'(A) > 0)

מכיוון שהפונקציה עולה בנקודה A, הנגזרת f'(A) היא חיובית.

נקודת קיצון ונקודת פיתול

רמת קושי: בינוני

ממתין

אם לפונקציה f(x) הנגזרת הראשונה מתאפסת ב-x=2 ומשנה סימן מסימן חיובי לשלילי, והנגזרת השנייה ב-x=3 מתאפסת ומשנה סימן, ציין את סוג הנקודה ב-x=2 ו-x=3.

נקודת קיצוןנקודת פיתולנגזרות

רמז: נקודת קיצון מתאפסת ומשנה סימן בנגזרת הראשונה, נקודת פיתול בנגזרת השנייה.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=2: נקודת קיצון (מקסימום) x=3: נקודת פיתול

ב-x=2 יש נקודת קיצון (מקסימום) כי f'(2)=0 ומשנה סימן מ-חיובי ל-שלילי. ב-x=3 יש נקודת פיתול כי f''(3)=0 ומשנה סימן.

זוגיות ואי-זוגיות של נגזרות

רמת קושי: מאתגר

ממתין

אם פונקציה f(x) זוגית, מה תהיה הזוגיות של נגזרותיה f'(x) ו-f''(x)?

זוגיותנגזרותתכונות פונקציה

רמז: הנגזרת הראשונה של פונקציה זוגית היא אי-זוגית.

פתרון מלא

תשובה סופית: f'(x) אי-זוגית, f''(x) זוגית

אם f(x) זוגית, אז f'(x) אי-זוגית ו-f''(x) זוגית.

התנהגות נגזרת בנקודות קיצון ופיתול

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה פונקציה f(x) עם f'(x) ו-f''(x). הנתונים: - ב-x=1, f'(1)=0 ומשנה סימן מ-שלילי לחיובי - ב-x=4, f''(4)=0 ומשנה סימן מ-חיובי ל-שלילי מה מסמלים x=1 ו-x=4 לגבי הפונקציה?

נקודות קיצוןנקודות פיתולבגרות

רמז: f'(x)=0 עם שינוי סימן הוא נקודת קיצון. f''(x)=0 עם שינוי סימן הוא נקודת פיתול.

פתרון מלא

תשובה סופית: x=1: נקודת מינימום x=4: נקודת פיתול

x=1 היא נקודת מינימום כי f'(1)=0 ומשנה סימן מ-שלילי לחיובי. x=4 היא נקודת פיתול כי f''(4)=0 ומשנה סימן מ-חיובי ל-שלילי.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל – זיהוי נקודות קיצון ופיתול

מתוך התרגיל: נקודת קיצון ופיתול בהתייחס לנגזרות

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא סוג הנקודה ב-x=2 / סוג הנקודה ב-x=3

  2. נתון 1

    נתון 1

    f'(2) = 0
  3. נתון 2

    נתון 2

    f'(x) משנה סימן ב-x=2
  4. נתון 3

    נתון 3

    f''(3) = 0
  5. רעיון

    הרעיון המרכזי

    להשתמש בהגדרות של נקודות קיצון ופיתול על פי נגזרות ראשונה ושנייה כדי לקבוע את סוג כל נקודה.

  6. נוסחה

    נכתוב ייצוג מתמטי

  7. משוואה

    מכיוון ש-f'(2)=0 ומשנה סימן זו נקודת קיצון.

    מכיוון ש-f'(2)=0 ומשנה סימן זו נקודת קיצון.

  8. פישוט

    מפשטים

    מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

זכרו את הנתונים

מה עושים

קראנו את ערכי הנגזרות בנקודות x=2 ו-x=3 ושינוי הסימנים שלהן.

למה

הבנת הנתונים היא הבסיס לזיהוי סוג הנקודות.

f'(2)=0 ומשנה סימן; f''(3)=0 ומשנה סימן.

2

בחירת שיטה

הכירו מה נקודת קיצון

מה עושים

נקודת קיצון היא כאשר הנגזרת הראשונה מתאפסת ומשנה סימן.

למה

שינוי סמן בנגזרת הראשונה מציין נקודת מקסימום או מינימום בפונקציה.

3

בחירת שיטה

הכירו מה נקודת פיתול

מה עושים

נקודת פיתול היא כאשר הנגזרת השנייה מתאפסת ומשנה סימן.

למה

שינוי סמן בנגזרת השנייה משנה את קמירות הפונקציה ומצביע על נקודת פיתול.

4

בניית משוואה

קביעת סוג ה-x=2

מה עושים

מכיוון ש-f'(2)=0 ומשנה סימן זו נקודת קיצון.

למה

הגדרה ברורה מתוך שינוי סימן בנגזרת הראשונה.

5

בניית משוואה

קביעת סוג ה-x=3

מה עושים

מכיוון ש-f''(3)=0 ומשנה סימן זו נקודת פיתול.

למה

שינוי סימן בנגזרת השנייה מאפיין נקודת פיתול.

6

תשובה

סיכום התוצאה

מה עושים

x=2 היא נקודת קיצון (מקסימום או מינימום), x=3 היא נקודת פיתול.

למה

לפי התיאור בבסיס הנגזרות והגדרות נקודות.

פתרונות כלליים

  • זיהוי סימן נגזרת מנקודה על הפונקציה: מכיוון שהפונקציה עולה בנקודה A, הנגזרת f'(A) היא חיובית.
  • נקודת קיצון ונקודת פיתול: ב-x=2 יש נקודת קיצון (מקסימום) כי f'(2)=0 ומשנה סימן מ-חיובי ל-שלילי. ב-x=3 יש נקודת פיתול כי f''(3)=0 ומשנה סימן.
  • זוגיות ואי-זוגיות של נגזרות: אם f(x) זוגית, אז f'(x) אי-זוגית ו-f''(x) זוגית.
  • התנהגות נגזרת בנקודות קיצון ופיתול: x=1 היא נקודת מינימום כי f'(1)=0 ומשנה סימן מ-שלילי לחיובי. x=4 היא נקודת פיתול כי f''(4)=0 ומשנה סימן מ-חיובי ל-שלילי.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.