וידאו · פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ד1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם פיתול
ד2. פונקצית מנה הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה
ד3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה
ה1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם שורש ועם פיתול
ה2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה
ו. הוכחה חשובה על פונקציה זוגית ואי זוגית
ז. שאלה חשובה בנושא קשר בין פונקציה וניגזרותיה
חישוב נגזרת פונקצית מנה עם שורש
רמת קושי: קל
נתונה הפונקציה f(x) = (שורש x) / (x בריבוע). חשב את הנגזרת הראשונה שלה.
רמז: השתמש בכלל המנה וחישוב נגזרת שורש
תשובה סופית: f'(x) = (x^2 / (2 שורש x) - 2x שורש x) / x^4
f'(x) = [(1/(2 שורש x)) * x^2 - שורש x * 2x] / (x^2)^2
בדיקת אסימפטוטות פונקציה עם שורש
רמת קושי: בינוני
נתונה הפונקציה f(x) = (שורש x) / (x בריבוע). בדוק האם יש לה אסימפטוטות אופקיות ואנכיות.
רמז: בדוק התנהגות הפונקציה כש x שואף לאפס וללאין סוף
תשובה סופית: אסימפטוטה אופקית ב-y=0, אסימפטוטה אנכית בנקודת חור ב-x=0
כאשר x שואף לאפס, המונה שואף לאפס והמכנה שואף לאפס, יש בדיקת גבול עדינה (0+). כאשר x שואף לאינסוף, פונקציה שואפת לאפס מהכיוון החיובי.
ניתוח נקודות פיתול וקיצון
רמת קושי: מאתגר
נתונה פונקציה עם נגזרת שהמשתנה בה הוא f'(x) עם נקודות שינוי סימן משמעותיות ב-0+ ו-1-. נתח את נקודות הפיתול וקיצון של הפונקציה.
רמז: בדוק סימני הנגזרת לפני ואחרי הערכים הקריטיים
תשובה סופית: קיצון בנקודה x= בין 0 ל-1, נקודת פיתול באזור הערכים הללו
ב-0+ הנגזרת חיובית, ב-1- הנגזרת שלילית, לכן יש קיצון בין הערכים. נקודת פיתול נמצאת כשהנגזרת השנייה משתנה סימן.
חקר פונקציה עם נגזרת הכוללת שורש
רמת קושי: בגרות
פונקציה נתונה f(x) = (שורש x) / (x בריבוע). חשב את הנגזרת שלה וחקר את התנהגותה בנקודות x=0+, x=1-, ו-x שואף לאינסוף.
רמז: חשב את הנגזרת, בצע הצבות ובחן את ההתנהגות הסמוכה לנקודות
תשובה סופית: f'(0+)>0, f'(1-)<0; הפונקציה בעלת נקודות קיצון ושתית אסימפטוטית אופקית ב-y=0
הנגזרת חושבה כנזכר. כאשר x שואף ל-0+ הנגזרת חיובית, ב-1- השלילית, וכאשר x שואף לאינסוף, הערך שואף לאפס.
כיצד מחשבים את הנגזרת ומנתחים את התנהגות הפונקציה
f(x) = שורש x / x^2לחשב את הנגזרת לפי כלל המנה ולנתח את הסימנים כדי לזהות נקודות קריטיות והתנהגות גבולית.
נגזרת שורש x = 1/(2 שורש x)מציבים את הנתונים במשוואה.
מחשב את הסימנים של f'(x) בנקודות שונות ומזהה עלייה וירידה
הפונקציה כוללת אסימפטוטה אופקית y=0, אסימפטוטה אנכית בנקודת חור x=0, ונקודות קיצון בין 0 ל-1
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נרשום את הפונקציה f(x) = שורש x / x^2
למה
מגדירים את הפונקציה כדי לחשב נגזרות
הפונקציה היא מנה של שורש x במונה ו-x בריבוע במכנה
בחירת שיטה
מה עושים
נזכור שנגזרת פונקצית מנה מחושבת לפי כלל המנה
למה
כדי לחשב נגזרת בצורה מדויקת
נגזרת של מנה היא (נגזרת המונה * המכנה - המונה * נגזרת המכנה) חלקי המכנה בריבוע
שימו לב לנגזרות של שורש ו-x בחזקות
בניית משוואה
מה עושים
נחשב נגזרת מונה: נגזרת שורש x היא חצי חלקי שורש x
למה
כי זו הנגזרת של שורש עם חזקת חצי
מכפילים לפי כלל המנה ומשלימים בנוסחה
נוסחה / הצבה
נגזרת שורש x = 1/(2 שורש x)פתרון
מה עושים
מחשב את הסימנים של f'(x) בנקודות שונות ומזהה עלייה וירידה
למה
לזהות נקודות קיצון ופיתול
בודקים ערכים ב-0+, 1- וגדולים מאד
השתמש במחשבון כדי להציב ערכים קרובים
תשובה
מה עושים
הפונקציה כוללת אסימפטוטה אופקית y=0, אסימפטוטה אנכית בנקודת חור x=0, ונקודות קיצון בין 0 ל-1
למה
מבוסס על הסימנים והגבולות שחושבו
זיהינו המשך פיתול וקיצון תוך שימוש בסימני נגזרת ובבדיקות ערכים