וידאו · פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ד3. סיכום הקשרים בין פונקציה לנגזרת ראשונה ושנייה
ה1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם שורש ועם פיתול
ה2. פונקצית מנה עם שורש הסתכלות על הקשרים בין הפונקציה המקורית לנגזרת הראשונה והשנייה
ו. הוכחה חשובה על פונקציה זוגית ואי זוגית
ז. שאלה חשובה בנושא קשר בין פונקציה וניגזרותיה
קביעת נקודות קיצון על פי הנגזרת
רמת קושי: קל
נתונה פונקציה g שנגזרתה f' מתוארת כך: f'(1)=0, הנגזרת עולה בין 0 ל-2 ויורדת בין 2 ל-3. זיהו את נקודות הקיצון האפשריות של הפונקציה g בטווח הנתון.
רמז: נקודת קיצון בפונקציה מתרחשת כאשר הנגזרת שווה לאפס ומחליפה סימן.
תשובה סופית: נקודת מקסימום ב-x=1
כיוון שהנגזרת שווה לאפס ב-x=1 ועולה בין 0 ל-2, ונ יורדת בין 2 ל-3, קיימת נקודת מקסימום ב-x=1.
ניתוח נקודות פיתול בנגזרת
רמת קושי: בינוני
פונקציה f גזירה פעמיים. נתונה כי הנגזרת הראשונה f' יורדת בין x=0 ל-x=2 ועולה בין x=2 ל-x=3. מה ניתן להסיק על נקודת ה-potential פיתול ב-x=2?
רמז: נקודת פיתול היא נקודה שבה הקמירות של הפונקציה משתנה, כלומר הנגזרת השנייה משנה סימן.
תשובה סופית: נקודת פיתול של הפונקציה ב-x=2
כיוון ש-f' יורדת ואז עולה ב-x=2, הנגזרת השנייה f'' משנה סימן והפונקציה f חווה נקודת פיתול ב-x=2.
שרטוט פונקציה נתונה מידע על נגיזותיה
רמת קושי: מאתגר
להינתן f מוגדרת על [0,5], עם f(0)=0, f'(1)=0, f'(3)=0, הנגזרת הראשונה עולה בין 2-3 ויורדת בין 0-2 ובין 3-5. שרטטו את האפיון המשוער של f על פי מידע זה.
רמז: התבוננו בנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס ותחומי עליה וירידה של הנגזרת כדי לרשום את קיצוני הפונקציה.
תשובה סופית: f יורדת 0-2, עולה 2-3, יורדת 3-5 עם נקודות קיצון ב-1,3
נקודות קיצון של f הן ב-x=1 ו-x=3 (נשים לב לשינוי מגמה בנגזרת). f עולה כאשר f' חיובית ויורדת כשהיא שלילית. לכן f יורדת בין 0-2, עולה בין 2-3, ואז יורדת שוב בין 3-5. שימו לב ש-f(0)=0 הוא נקודת התחלה, וניתן לשרטט קווים כלליים לפי המגמות.
הסק מסקנות מניתוח נגזרת ופיתול
רמת קושי: בגרות
פונקציה f גזירה פעמיים, וידוע כי הנגזרת שלה f' שווה ל-0 בנקודות x=1 ו-x=3. בנוסף, f' יורדת בין 0 ל-2, עולה בין 2 ל-3 ויורדת בין 3 ל-5. מה ניתן להסיק על התנהגות הפונקציה f ועל נקודות הקיצון והפיתול שלה?
רמז: השינוי בסימן של f' מסמל נקודות קיצון, והשינוי במגמה של f' מסמל נקודות פיתול בפונקציה.
תשובה סופית: נקודות קיצון ב-1 ו-3, נקודות פיתול ב-2 ו-3, מגמות עולה ויורד בהתאם ל-f'
נקודות הקיצון של f ב-x=1 ו-x=3 מאחר ש-f' שווה לאפס שם ומחליף סימן. חלק מהרצף עולה ויורד של f' מזהה נקודות פיתול ב-x=2 וב-x=3. לכן, ב-x=1 מקסימום או מינימום, ב-x=2 ו-3 נקודות פיתול, ובין תחומי הירידה והעלייה של f' נוצרות מגמות הפונקציה המתאימות.
זיהוי נקודות קיצון ופיתול באמצעות הנגזרת הראשונה
f(0) = 0f'(1) = 0השתמשו בנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס ובשינוי מגמת הנגזרת כדי לזהות נקודות קיצון ופיתול ולהסיק
רשום את טבלת סימני f' לאורך הטווח [0,5].
מסקנה מנקודות איפוס של הנגזרת ושינוי סימנה לגבי נקודות הקיצון.
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
רשמו את הערכים הנתונים של f ו-f' בנקודות מרכזיות ובתחומי עליה וירידה.
למה
הבנת הערכים והתחומים היא בסיס לפתרון החידה.
f(0)=0, f'(1)=0, f'(3)=0, ועוד נתוני מגמות של f' בין תחומים שונים.
שימו לב לנקודות שבהן הנגזרת שווה לאפס.
בחירת שיטה
מה עושים
בדקו איפה הנגזרת משנה סימן דרך נקודות האפס שלה.
למה
נקודות שבהן f'(x)=0 ומשנה סימן הן נקודות קיצון של f.
f' יורדת בין 0 ל-2, משמע בפנים תחום זה f' שלילי; אחרי 2 עולה, כלומר חוצה מיניוס לפלוס.
עלייה לאחר ירידה בנגזרת מצביעה על מינימום.
בניית משוואה
מה עושים
רשום את טבלת סימני f' לאורך הטווח [0,5].
למה
פירוט זה עוזר לקבוע מתי הפונקציה עולה או יורדת.
0–2: f' יורדת ולכן שלילי, 2–3: f' עולה ולכן חיובי, 3–5: f' יורדת ולכן שלילי.
שליליות של f' מעידה על ירידה של f.
פתרון
מה עושים
מסקנה מנקודות איפוס של הנגזרת ושינוי סימנה לגבי נקודות הקיצון.
למה
נקודות אלו הן מקסימום או מינימום של f.
ב-x=1, f' יורדת לאפס ומתחתיו, משמע נקודת מקסימום; ב-x=3 שינוי סימן בתחומי יורדים מתחת לאפס למעלה חזרה מתחתיו.
דגש על זיהוי אם שינוי מגמה של f' מפסיקה על עליה או על ירידה של f.
פתרון
מה עושים
הנחת ההבדלים בשינוי המגמה של f' מזהה נקודות פיתול של f.
למה
נקודות שבהן f' משנה מגמה הן נקודות פיתול של f.
ב-x=2 ו-x=3 הנגזרת משנה מגמה בין ירידה לעלייה או להפך, ולכן נקודות פיתול.
נקודת פיתול משקפת שינוי בקמירות הפונקציה.
תשובה
מה עושים
הרכיבו את המסקנות בנוגע להתנהגות הפונקציה f בטווח הנתון.
למה
הסקה זו עוזרת בפתרונות ובשרטוטים עתידיים.
f יורדת בין 0 ל-2, עולה בין 2 ל-3, יורדת בין 3 ל-5; נקודות קיצון ב-1 ו-3; נקודות פיתול ב-2 ו-3.
מומלץ לשרטט גרף עבור המחשה.