שיעור מקיף בבחינת תחום ההגדרה, חיתוכים עם הצירים, סימפטוטות, נגזרות ראשונה ושנייה, וקביעת נקודת פיתול בפונקציה עם שורש. ניתוח אלגבראי זהיר להבנה מעמיקה של התנהגות הפונקציה.
להבין כיצד לקבוע את תחום ההגדרה של פונקציה עם שורש ועם מנה
לזהות חיתוכים עם צירי המערכת
לנתח סימפטוטות להפונקציה
לדעת לגזור פונקציית מנה עם שורש ולפשט את הביטוי
לפענח את נקודות הקיצון ונקודות הפיתול על ידי ניתוח הנגזרות
להתמודד עם קשיים אלגבריים during derivative calculation
תחום הגדרה וחסימות: קביעת תחום ההגדרה של הפונקציה בהתבסס על תנאי אי שליליות של השורש והיעדר אפסים במכנה.
חיתוכים עם הצירים: זיהוי האם הפונקציה חותכת את ציר ה-x או ציר ה-y ומסקנות בעקבות זאת.
סימפטוטות: בחינת התנהגות הפונקציה בקירוב לאפס, לאחד ולאינסוף.

תרגול קצר

תחום הגדרה לפונקציה

רמת קושי: קל

ממתין

קבע את תחום ההגדרה של הפונקציה y = (x - שורש x) / (x - שורש x)

תחום_הגדרהשורשפונקציה_מנה

רמז: הזכור לשים לב למכנה שאסור להיות אפס ולשורש שמתחתיו חייב להיות אי שלילי

פתרון מלא

תשובה סופית: x ∈ (0,1) ∪ (1,∞)

תחום ההגדרה הוא x > 0 וגם x ≠ 1 כי ב- x=1 המכנה מתאפס

מציאת סימפטוטות

רמת קושי: בינוני

ממתין

מצאו את הסימפטוטות האנכיות והאופקיות של הפונקציה y = (x - שורש x) / (x - שורש x)

סימפטוטהפונקציה_מנה

רמז: בדקו את הערכים שבהם המכנה מתאפס ואת התנהגות הפונקציה באינסוף

פתרון מלא

תשובה סופית: סימפטוטות אנכיות: x=0, x=1; סימפטוטה אופקית: y=1

סימפטוטות אנכיות ב- x=0 ו- x=1. סימפטוטה אופקית ב- y=1

חישוב נגזרת ראשונה ופישוט

רמת קושי: מאתגר

ממתין

גזור ופשט את הנגזרת הראשונה של הפונקציה y = (x - שורש x) / (x - שורש x)

נגזרתפונקציה_מנהשורש

רמז: השתמש בכלל המנה ושמור על ביטויים עדינים בשורש

פתרון מלא

תשובה סופית: y' = (-1/2 שורש x)(x - שורש x)^{-2}

y' = ( (1)(x - שורש x) - (x)(1 - 1/(2 שורש x)) ) / (x - שורש x)^2 עם פישוט נוסף

מציאת נקודת פיתול

רמת קושי: בגרות

ממתין

מצא את נקודת הפיתול של הפונקציה y = (x - שורש x) / (x - שורש x)

נקודת_פיתולנגזרת_שנייה

רמז: חשב את הנגזרת השנייה והשווה לאפס

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת פיתול: (1/9, -1/2)

נקודת פיתול ב- x= (1/3)^2 = 1/9, y= -1/2

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

מציאת נקודת פיתול בפונקציה עם שורש ומנה

שלבי פתירת תרגיל חקירת נקודות פיתול

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא נקודת פיתול של הפונקציה
נתון 1
נתון 1
פונקציה y = (x - שורש x) חלקי (x - שורש x)
נתון 2
נתון 2
תחום ההגדרה x > 0, x ≠ 1
רעיון
הרעיון המרכזי
חשב ופתור נגזרת שנייה שווה לאפס כדי למצוא נקודת פיתול
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
גזור שוב את הנגזרת הראשונה וזהה את הביטוי לנגזרת שנייה
גזור שוב את הנגזרת הראשונה וזהה את הביטוי לנגזרת שנייה
פישוט
שווה את הנגזרת השנייה לאפס ופתור למשתנה x
שווה את הנגזרת השנייה לאפס ופתור למשתנה x
תוצאה
מסיימים בתשובה
וודא ש-x שמצאת שייך לתחום ההגדרה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה ותחום ההגדרה

מה עושים

קבע את תחום ההגדרה והתייחס לחסימות מהמכנה ומהשורש

למה

תחום ההגדרה מונע חלוקה באפס ומונע שורש שלילי

x > 0 ו-x ≠ 1

בחירת שיטה

גזור את הנגזרת הראשונה

מה עושים

השתמש בכלל המנה לגזירת הפונקציה

למה

הנגזרת הראשונה נדרשת על מנת לחשב את הנגזרת השנייה

y' = נגזרת ראשונה של y

נוסחה / הצבה

נגזרת של מנה היא נגזרת המונה כפול המכנה פחות המונה כפול נגזרת המכנה חלקי המכנה בריבוע(f/g)' = (f' g - f g') / g^2(d)/(dx) ( (f)/(g) ) = (f' g - f g')/(g^2)

שמור על ביטויים עם שורשים במהלך הגזירה

בניית משוואה

חשב את הנגזרת השנייה

מה עושים

גזור שוב את הנגזרת הראשונה וזהה את הביטוי לנגזרת שנייה

למה

הנגזרת השנייה מאפשרת לזהות נקודות פיתול

y'' = נגזרת שנייה של y

היו זהירים עם הפשטות

פתרון

פתור y''=0

מה עושים

שווה את הנגזרת השנייה לאפס ופתור למשתנה x

למה

שוויון ל-0 מאפשר למצוא נקודות פיתול אפשריות

מציאת x שמקיים y''=0

הוצא גורם משותף ופשט ביטויים

בדיקה

בדוק את התחום של הפתרון

מה עושים

וודא ש-x שמצאת שייך לתחום ההגדרה

למה

פתרון לא בתחום ההגדרה לא תקף

x = 1/9 הוא בתחום ההגדרה וחלק מהפתרונות

תשובה

כתוב את נקודת הפיתול

מה עושים

חשב את ערך y בנקודה x = 1/9

למה

כדי לקבוע נקודת פיתול מלאה על הפונקציה

נקודת פיתול היא (1/9, -1/2)

פתרונות כלליים

תחום הגדרה לפונקציה: תחום ההגדרה הוא x > 0 וגם x ≠ 1 כי ב- x=1 המכנה מתאפס
מציאת סימפטוטות: סימפטוטות אנכיות ב- x=0 ו- x=1. סימפטוטה אופקית ב- y=1
חישוב נגזרת ראשונה ופישוט: y' = ( (1)(x - שורש x) - (x)(1 - 1/(2 שורש x)) ) / (x - שורש x)^2 עם פישוט נוסף
מציאת נקודת פיתול: נקודת פיתול ב- x= (1/3)^2 = 1/9, y= -1/2

הפריט הקודם הפריט הבא

ה1. חקירה מלאה של פונקצית מנה עם שורש ועם פיתול

ניווט לפי נושאים

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא נקודת פיתול של הפונקציה

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

גזור שוב את הנגזרת הראשונה וזהה את הביטוי לנגזרת שנייה

שווה את הנגזרת השנייה לאפס ופתור למשתנה x

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת הפונקציה ותחום ההגדרה

גזור את הנגזרת הראשונה

חשב את הנגזרת השנייה

פתור y''=0

בדוק את התחום של הפתרון

כתוב את נקודת הפיתול

פתרונות כלליים