זיהוי נקודות קיצון ונקודות פיתול מפונקציה נתונה
רמת קושי: קל
נתונה פונקציה ריאלית עם גרף מתחלק לאזורי עלייה וירידה. נתון שמתקיים: הפונקציה עולה ב-(-∞,1), יורדת ב-(1,3), יורדת ב-(3,5), ועולה מ-(5,∞). הנגזרת השנייה משנה סימן ב- x=4. הגדירו את סוג הנקודות בנקודות x=1, x=3, ו-x=4.
נקודות קיצוןנקודות פיתולנגזרת ראשונהנגזרת שנייה
רמז: בדקו את שינוי הסימן של הנגזרת הראשונה בנקודות 1 ו-3 ואת שינוי הסימן של הנגזרת השנייה בנקודה 4.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=1 מקסימום
x=3 מינימום
x=4 נקודת פיתול
ב-x=1 הנגזרת משנה סימן מפלוס למינוס => נקודת מקסימום.
ב-x=3 הנגזרת משנה סימן ממינוס לפלוס => נקודת מינימום.
ב-x=4 הנגזרת השנייה משנה סימן => נקודת פיתול.
פעולה משולבת בזיהוי נקודות פיתול ומקסימום
רמת קושי: בינוני
נתונה פונקציה f(x) שעבורה f'(x) = (x-2)(x-4)^2 ו-f''(x) = 3x^2 -12x +8. בידודו נקודות הקיצון והפיתול של f, וציינו על פי שינוי הסימן אם מדובר במקסימום, מינימום או פיתול.
נקודות קיצוןנקודות פיתולנגזרת ראשונהנגזרת שנייה
רמז: בדקו איפה f' שווה אפס ואת שינוי הסימן שלה. בדקו בנקודות אלו את הערך של f'' והשינוי בסימן שלה.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=2 מקסימום
x=4 נקודת פיתול
f'(x) = 0 כאשר x=2, ו-x=4.
ב-x=2: f' משנה סימן מפלוס למינוס => מקסימום
ב-x=4: f' שורש כפול, אין שינוי סימן – לא נקודת קיצון
f''(x) פותח לאקורד, בודקים שינוי סימן סביב x=4 – יש שינוי => נקודת פיתול.
ניתוח פונקציה עם נגזרות בחקירת התנהגות הפונקציה
רמת קושי: מאתגר
עבור הפונקציה f הנתונה שלגביה f'(x) ו-f''(x) ידועות, תארו את התנהגות הפונקציה וסווגו את הנקודות הקריטיות מכל הבחינות האפשריות על ציר ה-x.
נקודות קריטיותפיתולנגזרת ראשונהנגזרת שנייה
רמז: השתמשו במקום בו הנגזרות מתאפסות, בשינוי הסימן שלהם ובקשרים בין הנגזרות הראשונה והשנייה כדי לסווג את נקודות הקיצון והפיתול.
פתרון מלא
תשובה סופית: בדיקת שורשים כפולים ומולטי-שינוי סימן מובילה לזיהוי נקודת פיתול ב-x=3, ללא נקודת קיצון שם.
נתון ש-f'(x) שורש כפול ב-x=3, ושינוי סימן לא מתרחש => אין נקודת קיצון
f''(x) משנה סימן ב-x=3 => נקודת פיתול
בדקו בנוסף נקודות אחרות עם שורשים פשוטים בנגזרת הראשונה לשינוי סימן
שאלת הבגרות לזיהוי נקודות קיצון ופיתול
רמת קושי: בגרות
נתונה פונקציה f רציפה ו-H וניתנת הנגזרת הראשונה והשנייה שלה. נתון שלפונקציה יש את המאפיינים הבאים: f' שווה 0 ב-x=2 ו-x=5, ו-f'' משנה סימן ב-x=4. סווגו את הנקודות x=2, x=4, x=5 בהתייחס לנקודת מקסימום, מינימום או פיתול והסבירו.
בגרותנקודות קיצוןפיתולנגזרת ראשונהנגזרת שנייה
רמז: בדקו לפי הנגזרת הראשונה אם יש שינוי סימן בנקודות 2 ו-5, ולהבדיל בנקודת 4 בדקו שינוי סימן בנגזרת השנייה.
פתרון מלא
תשובה סופית: x=2 מקסימום
x=5 מינימום
x=4 נקודת פיתול
ב-x=2: f' משתנה מפלוס למינוס => מקסימום
ב-x=5: f' משתנה ממינוס לפלוס => מינימום
ב-x=4: f'' משנה סימן => נקודת פיתול