בשיעור זה נלמד על נקודות פיתול בפונקציות, הדגמה של פיתולים במהלך מגמות עלייה וירידה, ונתאר כיצד השיפוע והמשיק מתנהגים בנקודות אלה. נלמד גם על טעות נפוצה לגבי שיפוע המשיק בנקודות פיתול.
להבין מהי נקודת פיתול בתחום פונקציה
להבחין בין סוגי פיתול כאשר המגמה בעלייה או בירידה
להבחין בשיפוע המשיק בנקודות פיתול - אפס או לא אפס
לזהות למקם את המשיק ביחס לגרף בנקודת הפיתול
הגדרת נקודת פיתול: נקודת פיתול היא נקודה שבה הפונקציה משנה את קעירותה, כלומר משנה את העקמומיות שלה מעלה למטה או להפך.
דוגמאות והמחשות: מציגים נקודות פיתול שונות במגמות של עלייה וירידה, ומשווים את מיקום המשיק ביחס לגרף.
טעויות נפוצות: לא כל נקודת פיתול היא בהכרח נקודה שבה שיפוע המשיק הוא אפס.

תרגול קצר

זיהוי נקודת פיתול

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה פונקציה גזירה. האם בנקודה בה הנגזרת השנייה משתנה סימן תמיד קיימת נקודת פיתול? הסבר.

נקודות פיתולנגזרת שנייהקעירות

רמז: בדוק מה משמעות שינוי סימן של הנגזרת השנייה בפונקציה.

פתרון מלא

תשובה סופית: כן, קיימת נקודת פיתול בנקודה בה הנגזרת השנייה משנה סימן.

כן, שינוי סימן של הנגזרת השנייה בקביעת הנקודה מעיד על שינוי בקעירות ולכן זו נקודת פיתול.

שיפוע המשיק בנקודת פיתול

רמת קושי: קל

ממתין

האם שיפוע המשיק בנקודת פיתול חייב להיות אפס? הסבר עם דוגמה.

שיפוענקודת פיתול

רמז: זכור כי שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת הראשונה בנקודה.

פתרון מלא

תשובה סופית: לא, שיפוע המשיק בנקודת פיתול יכול להיות אפס וגם לא אפס.

לא, שיפוע המשיק בנקודת פיתול לא חייב להיות אפס. קיימות נקודות פיתול שבהן y' שונה מאפס, כלומר המשיק אינו מאוזן (לא אופקי).

שרטוט נקודות פיתול

רמת קושי: בינוני

ממתין

שרטט גרף פונקציה שמכילה נקודת פיתול עם שיפוע משיק חיובי ונקודת פיתול נוספת עם שיפוע משיק שלילי.

שרטוטנקודות פיתולשיפוע מחושב

רמז: השתמש בתכונות של פונקציה משתנה קמירות ושיפוע.

פתרון מלא

תשובה סופית: ראה שרטוט בו יש שתי נקודות פיתול עם שיפועים שונים לפי התיאור.

יש לעשות שרטוט עם גרף שעובר מפיתול בעל שיפוע חיובי לאחד עם שיפוע שלילי, תוך הצגת המשיקים בנקודות הפיתול.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

זיהוי נקודת פיתול ומאפייניה

הבנת התנהגות המשיק בשונה בקעירות הפונקציה

8 תחנות6 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא האם קיימת נקודת פיתול / שיפוע המשיק בנקודה
נתון 1
הפונקציה גזירה
נתון 2
הנגזרת השנייה משנה סימן בנקודה
רעיון
הרעיון המרכזי
למצוא האם יש שינוי בקעירות על ידי בדיקת הנגזרת השנייה ולזהות את ערך הנגזרת הראשונה כדי לקבוע את
נוסחה
בדוק ש-y'' משנה סימן בנקודה
y''(x0) משנה סימן ב x0y''(x_0) משתנה סימן במעבר בנקודה x_0y''(x_0) משנה סימן ב x_0
משוואה
לרשום שמשנים סימן בנגזרת השנייה
לרשום שמשנים סימן בנגזרת השנייה
y''(x0-) < 0y''(x0+) > 0y''(x_0^-) 20, 22y''(x_0^+) 210
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.
תוצאה
מסיימים בתשובה
קבל מתי קיימת נקודת פיתול ושיפוע המשיק

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

להבין נקודת פיתול

מה עושים

לזהות נקודה שבה הקעירות משתנה

למה

נקודת פיתול היא מקום שבו משתנה קעירות הפונקציה.

נקודת פיתול מתרחשת כאשר הנגזרת השנייה משנה סימן.

זיהוי נתונים

הנגזרת השנייה

מה עושים

בדוק ש-y'' משנה סימן בנקודה

למה

שינוי הסימן של הנגזרת השנייה מעיד על שינוי בקעירות.

נוסחה / הצבה

y''(x0) משנה סימן ב x0y''(x_0) משתנה סימן במעבר בנקודה x_0y''(x_0) משנה סימן ב x_0

זיהוי נתונים

ערך הנגזרת הראשונה

מה עושים

חשב y' בנקודה

למה

ערך הנגזרת הראשונה הוא השיפוע של המשיק

נוסחה / הצבה

y'(x0) = my'(x_0) = m

m יכול להיות חיובי, שלילי או אפס

בחירת שיטה

קביעת שיפוע המשיק

מה עושים

השווה את ערך הנגזרת הראשונה לשיפוע המשיק

למה

שיפוע המשיק הוא ערך y' בנקודה

שיפוע המשיק יכול להיות אפס, חיובי או שלילי בנקודת פיתול

בניית משוואה

נוסחה לזיהוי נקודת פיתול

מה עושים

לרשום שמשנים סימן בנגזרת השנייה

למה

זו דרך פורמלית לבדוק נקודת פיתול

נוסחה / הצבה

y''(x0-) < 0y''(x0+) > 0y''(x_0^-) 20, 22y''(x_0^+) 210

תשובה

מסקנה לגבי נקודת פיתול

מה עושים

קבל מתי קיימת נקודת פיתול ושיפוע המשיק

למה

נקודת פיתול יכולה להיות גם עם שיפוע משיק אפס וגם לא אפס

שיפוע המשיק בנקודת פיתול אינו חייב להיות אפס, אפשרי שבזמנים מסוימים הוא חיובי או שלילי.

פתרונות כלליים

זיהוי נקודת פיתול: כן, שינוי סימן של הנגזרת השנייה בקביעת הנקודה מעיד על שינוי בקעירות ולכן זו נקודת פיתול.
שיפוע המשיק בנקודת פיתול: לא, שיפוע המשיק בנקודת פיתול לא חייב להיות אפס. קיימות נקודות פיתול שבהן y' שונה מאפס, כלומר המשיק אינו מאוזן (לא אופקי).
שרטוט נקודות פיתול: יש לעשות שרטוט עם גרף שעובר מפיתול בעל שיפוע חיובי לאחד עם שיפוע שלילי, תוך הצגת המשיקים בנקודות הפיתול.

הפריט הקודם הפריט הבא

א2. נקודות פיתול תחומי קעירות מעלה ומטה

ניווט לפי נושאים

פיתול וקשר בין פונקציה לנגזרת

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

אי שוויון

נגזרות רמה בסיסית

נקודות קיצון

אסימפטוטות אנכית ואופקית

חקירה מלאה של פונקציה

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

גיאומטריה

בעיות ערך קיצון

אינטגרלים

הסתברות

חוברות עבודה בגיאומטריה

סילבוס - תוכנית לימודים

תרגילים מסוגים שונים

צמצום אלגברי, פולינומים

סדרות

נגזרת - טכניקה טריגונומטרית

פתרונות של בגרויות

חזרות

אינטגרלים - חילוק פולינומים ושיטת הצבה

בעיות הספק

בעיות תנועה

חקירה טריגונומטרית

אלגברה של הטריגונומטריה

פעולות על פונקציות סעיפי חשיבה

פונקציה זוגית ואי זוגית

משיק לפונקציה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא האם קיימת נקודת פיתול / שיפוע המשיק בנקודה

הפונקציה גזירה

הנגזרת השנייה משנה סימן בנקודה

הרעיון המרכזי

בדוק ש-y'' משנה סימן בנקודה

לרשום שמשנים סימן בנגזרת השנייה

מפשטים

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

להבין נקודת פיתול

הנגזרת השנייה

ערך הנגזרת הראשונה

קביעת שיפוע המשיק

נוסחה לזיהוי נקודת פיתול

מסקנה לגבי נקודת פיתול

פתרונות כלליים