השיעור מדגים פתרון תרגיל בסדרה חשבונית, הכולל מציאת מספר האיברים בסדרה ידועה עם איבר ראשון והפרשה קבועה, תוך שימוש בנוסחאות בסיסיות לסדרה חשבונית, והדגשת הבקרה בתרגול ווריאציות שונות של התרגיל.
להבין ולהשתמש בנוסחאות הסדרה החשבונית: an = a1 + (n-1)d
להכניס נתונים ידועים לתוך נוסחאות ולפתור משוואות למציאת n
לזהות את מרכיבי הסדרה החשבונית (a1, d, n, an)
להבין את חשיבות הבקרה וההשוואה בתרגול כדי לאשש תוצאות
היכרות עם מרכיבי הסדרה החשבונית: הסבר על איבר ראשון, הפרשה, מספר איברים והאיבר האחרון בסדרה חשבונית.
שימוש בנוסחאות הסכום ומאפייני הסדרה: נוסחה לסכום n איברים בסדרה חשבונית ונוסחה לאיבר ה-n בסדרה.
פתרון משוואה למציאת מספר האיברים: הצבת הנתונים בנוסחאות, פישוט והגעה לנוסחה ריבועית פשוטה לפתרון.

תרגול קצר

מציאת מספר האיברים בסדרה חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה חשבונית שבה האיבר הראשון הוא 2, הפרשה היא 3, וסכום 11 האיברים הראשונים הוא 187. מצא את מספר האיברים בסדרה.

סדרה חשבוניתמספר איבריםנוסחאות סדרה

רמז: השתמש בנוסחה לסכום סדרה חשבונית S = n/2 (a1 + an) והבע את an בעזרת an = a1 + (n-1)d.

פתרון מלא

תשובה סופית: 11

לפי נתוני השאלה: a1=2, d=3, S=187. נציב בנוסחה: 187 = n/2 * (2 + an). נבחן an לפי נוסחת האיבר ה-n: an = 2 + (n-1)*3 = 2 + 3n - 3 = 3n -1. לכן: 187 = n/2 * (2 + 3n -1) = n/2 * (3n +1). נכפיל ב-2: 374 = n(3n +1) = 3n^2 + n. נקבל משוואה ריבועית: 3n^2 + n - 374 = 0. נפתור: n = [-1 ± √(1 + 4*3*374)] / (2*3) = [-1 ± √(1 + 4488)] / 6 = [-1 ± √4489]/6. √4489 = 67. לכן: n = (-1 + 67)/6 = 66/6=11 או פתרון שלילי לא מתקבל. התשובה: 11.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל: מציאת מספר האיברים בסדרה חשבונית

סדרה עם a1=2, d=3, סכום הסדרה 187

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מספר האיברים n
נתון 1
נתון 1
a1 = 2
נתון 2
נתון 2
d = 3
נתון 3
נתון 3
סכום הסדרה S = 187
רעיון
הרעיון המרכזי
נציב את הנתונים בנוסחת הסכום לסדרה חשבונית, ונבטא את האיבר האחרון באמצעות הנוסחה לאיבר ה-n, ואז
נוסחה
השתמש בנוסחה an = a1 + (n-1)*d כדי לכתוב את an כפונקציה של n.
an = a1 + (n - 1) * da_n = a_1 + (n - 1) da_n = a_1 + (n-1)d
משוואה
נציב an במשוואת הסכום ונכפיל ב-2 כדי לפשט: 374 = n(3n +1).
נציב an במשוואת הסכום ונכפיל ב-2 כדי לפשט: 374 = n(3n +1).
פישוט
נמצא את פתרונות המשוואה ונבחר את הפתרון ההגיוני (חיובי ושלם).
נמצא את פתרונות המשוואה ונבחר את הפתרון ההגיוני (חיובי ושלם).

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים בסיסיים בסדרה

מה עושים

רשום את a1, d ו-S כפי שניתנו בשאלה.

למה

נדרש להבין את הנתונים להמשך הפתרון.

a1=2, d=3, S=187

בחירת שיטה

הנוסחה לסכום סדרה חשבונית

מה עושים

כתוב את נוסחת הסכום S = n/2 * (a1 + an).

למה

שימוש בנוסחה מאפשר למצוא קשר בין אורך הסדרה לאיבר האחרון.

S = n/2 * (a1 + an)

נוסחה / הצבה

S = n / 2 * (a1 + an)S = (n)/(2)(a_1 + a_n)

זכור שסכום הסדרה תלוי במספר האיברים ובאיבר האחרון.

בניית משוואה

הבע את an באמצעות a1,d ו-n

מה עושים

השתמש בנוסחה an = a1 + (n-1)*d כדי לכתוב את an כפונקציה של n.

למה

כך נשיג משוואה אחת עם נעלם יחיד n.

an = 2 + (n-1) * 3 = 3n - 1

נוסחה / הצבה

an = a1 + (n - 1) * da_n = a_1 + (n - 1) da_n = a_1 + (n-1)d

חישוב an חשוב להצבת בנוסחת הסכום.

בניית משוואה

נוסחה עם n בלבד

מה עושים

נציב an במשוואת הסכום ונכפיל ב-2 כדי לפשט: 374 = n(3n +1).

למה

כעת ניתן לפתור משוואה ריבועית למציאת n.

374 = n (3n + 1)

פישוט משוואות מפחית טעויות.

פתרון

פתרון המשוואה הריבועית

מה עושים

נמצא את פתרונות המשוואה ונבחר את הפתרון ההגיוני (חיובי ושלם).

למה

מספר האיברים צריך להיות מספר טבעי חיובי.

n = 11

התשובה השלמה מתקבלת מהשורש החיובי.

תשובה

אישור התוצאה

מה עושים

מספר האיברים בסדרה הוא 11.

למה

התוצאה הגיונית והשלמה בהתאם לנתונים.

n = 11

פתרונות כלליים

מציאת מספר האיברים בסדרה חשבונית: לפי נתוני השאלה: a1=2, d=3, S=187. נציב בנוסחה: 187 = n/2 * (2 + an). נבחן an לפי נוסחת האיבר ה-n: an = 2 + (n-1)*3 = 2 + 3n - 3 = 3n -1. לכן: 187 = n/2 * (2 + 3n -1) = n/2 * (3n +1). נכפיל ב-2: 374 = n(3n +1) = 3n^2 + n. נקבל משוואה ריבועית: 3n^2 + n - 374 = 0. נפתור: n = [-1 ± √(1 + 4*3*374)] / (2*3) = [-1 ± √(1 + 4488)] / 6 = [-1 ± √4489]/6. √4489 = 67. לכן: n = (-1 + 67)/6 = 66/6=11 או פתרון שלילי לא מתקבל. התשובה: 11.

הפריט הקודם הפריט הבא

א25. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מספר האיברים n

נתון 1

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

השתמש בנוסחה an = a1 + (n-1)*d כדי לכתוב את an כפונקציה של n.

נציב an במשוואת הסכום ונכפיל ב-2 כדי לפשט: 374 = n(3n +1).

נמצא את פתרונות המשוואה ונבחר את הפתרון ההגיוני (חיובי ושלם).

פתרון מפורט

נתונים בסיסיים בסדרה

הנוסחה לסכום סדרה חשבונית

הבע את an באמצעות a1,d ו-n

נוסחה עם n בלבד

פתרון המשוואה הריבועית

אישור התוצאה

פתרונות כלליים