בשיעור זה דנו כיצד לחשב סכום של חלקים שונים של סדרה חשבונית, עם דגש על סכום של מספר איברים ראשונים ואחרונים, וכן על השימוש בנוסחאות לסכום סדרות שיכולות להתייחס לסכום מההתחלה או מהסוף.
להבין כיצד לחשב סכום של איברים ראשונים בסדרה חשבונית
לדעת למצוא את האיבר ה-n בסדרה חשבונית
לזהות את גבולות החישוב כאשר מחשבים סכום של איברים אחרונים
להשתמש בנוסחאות סכום סדרה חשבונית מההתחלה ומהסוף
למנוע טעויות לוגיות בניתוח גבולות חישוב סכומים בסדרות
הצגת הסדרה והנחות היסוד: הסדרה החשבונית מוגדרת עם איבר ראשון a1=2 ופרש d=3, הכוללת 30 איברים.
סכום איברים ראשונים: כיצד למצוא את סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה על פי הנוסחה הידועה.
סכום איברים אחרונים והבעיות הרגילות: הסבר על איתור תחילת קבוצת האיברים האחרונים לסיכום ואופן השימוש בנוסחאות סכום מהסוף.

תרגול קצר

חישוב סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה חשבונית עם a1=2 ו-d=3, מצא את סכום 20 האיברים הראשונים.

סדרה חשבוניתסכום סדרהאינטגרציה בסיסית

רמז: השתמש בנוסחת סכום סדרה חשבונית עם n=20, a1=2 ו-d=3.

פתרון מלא

תשובה סופית: 610

Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d) = 20/2 * (2*2 + (20-1)*3) = 10 * (4 + 57) = 10 * 61 = 610

מציאת סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בסדרה חשבונית עם a1=2, d=3 ו-30 איברים, חשב את סכום 15 האיברים האחרונים.

סדרה חשבוניתסכום סדרההבנת גבולות

רמז: שימת לב שהאיבר הראשון בסכימה אחרונה הוא a16, והשתמש בנוסחת סכום מתוקנת.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1020

תחילת האיבר: a16 = a1 + 15d = 2 + 15*3 = 2 + 45 = 47 סכום 15 האיברים: Sn = n/2 * (afirst + alast) = 15/2 * (47 + a30) כאשר a30 = a1 + 29d = 2 + 29*3 = 2 + 87 = 89 Sn = 7.5 * (47 + 89) = 7.5 * 136 = 1020

חישוב סכום 15 איברים מהסוף בנוסחה הפוכה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

חישב את סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה חשבונית עם a1=2, d=3, תוך שימוש בנוסחה לסכום מהסוף, שבה הפרש הופך למינוס d.

סדרה חשבוניתסכום מהסוףנוסחה מתקדמת

רמז: השתמש בנוסחה Sn = n/2 * (2an - (n-1)d) כש-d הוא מינוס של הפרש הסדרה.

פתרון מלא

תשובה סופית: 1650

a30 = a1 + 29d = 2 + 29*3 = 89 מספר האיברים n=15 d חדש = -3 Sn = 15/2 * (2*89 - (15-1)*(-3)) = 7.5 * (178 + 42) = 7.5 * 220 = 1650 הערה: בהקשר זה יש לשים לב שכאשר מחשבים הסכום מהסוף d הופך למינוס, מה שמעלה את הסכום הכולל.

חישוב סכום חלקי סדרה חשבונית

רמת קושי: בגרות

ממתין

נתונה סדרה חשבונית בעלת a1=2 ו-d=3 עם 30 איברים. חשב את סכום 20 האיברים הראשונים ו-15 האיברים האחרונים.

סדרה חשבוניתבגרותחישוב סכום

רמז: השתמש בנוסחת סכום הרגילה עבור האיברים הראשונים. עבור האיברים האחרונים, וודא כי תחילת הסכום היא החל מ-a16 ולא a15.

פתרון מלא

תשובה סופית: סכום 20 הראשונים: 610, סכום 15 האחרונים: 1020

סכום 20 האיברים הראשונים: Sn1 = 20/2 * (2*2 + 19*3) = 10 * (4 + 57) = 610 איבר התחלה של 15 האחרונים: a16 = 2 + 15*3 = 47 איבר סיום: a30 = 2 + 29*3 = 89 סכום 15 האיברים האחרונים: Sn2 = 15/2 * (47 + 89) = 7.5 * 136 = 1020

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה חשבונית

סדרה עם a1=2, d=3, 30 איברים

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא סכום 15 האיברים האחרונים
נתון 1
נתון 1
איבר ראשון a1=2
נתון 2
נתון 2
פרש d=3
נתון 3
מספר האיברים הכולל: 30
רעיון
הרעיון המרכזי
נזהה את האיבר ההתחלתי בסכום (a16), נראה את האיבר האחרון (a30), ונחשב סכום בין שני האיברים
נוסחה
a16 = 2 + 15 * 3 = 47; a30 = 2 + 29 * 3 = 89
a16 = a1 + 15d = 2 + 15 * 3 = 47a30 = a1 + 29d = 2 + 29 * 3 = 89
משוואה
Sn = n/2 * (afirst + alast) = 15/2 * (47 + 89)
Sn = n/2 * (afirst + alast) = 15/2 * (47 + 89)
Sn = n / 2 * (a1 + an)S_n = (n)/(2) (a_1 + a_n)
פישוט
Sn = 7.5 * 136 = 1020
Sn = 7.5 * 136 = 1020

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

נתונים עיקריים

מה עושים

a1=2, d=3, מספר איברים כולל 30, רוצים סכום 15 האחרונים.

למה

כדי להגדיר את בסיס החישוב והגבולות

נתוני הבעיה כוללים פרש, איבר ראשון וסך האיברים בסדרה.

בחירת שיטה

למצוא התחלת החישוב

מה עושים

איבר התחלה לסכום 15 האחרונים הוא a16 = a1 + 15d

למה

התחלנו לחשב מהאיבר ה-16 כי זה ייתן בדיוק 15 איברים עד הסוף

זיהוי קצר וחכם של תחילת החלק לסיכום בסדרה.

לא להתחיל מ-a15 כי זה יהיה 16 איברים.

בניית משוואה

חשב את a16 ו-a30

מה עושים

a16 = 2 + 15 * 3 = 47; a30 = 2 + 29 * 3 = 89

למה

נדרש לדעת את האיברים כדי להשתמש בנוסחת הסכום

חשב את ערכי האיברים בהתחלה ובסוף

נוסחה / הצבה

a16 = a1 + 15d = 2 + 15 * 3 = 47a30 = a1 + 29d = 2 + 29 * 3 = 89

פתרון

נוסחת סכום הסדרה

מה עושים

Sn = n/2 * (afirst + alast) = 15/2 * (47 + 89)

למה

נוסחה סטנדרטית לסכום סדרה חשבונית ממספר איברים

הצבת הנתונים בנוסחה לסכום האיברים המתאימים

נוסחה / הצבה

Sn = n / 2 * (a1 + an)S_n = (n)/(2) (a_1 + a_n)

לא לשכוח לחבר את האיבר הראשון והאחרון של החלק המבוקש בקבוצה

פתרון

חשב סכום

מה עושים

Sn = 7.5 * 136 = 1020

למה

פישוט מתמטי בסיסי לסכום הסדרה

פישוט התוצאה והצגת סכום הסדרה המבוקש

הסכום הוא 1020

פתרונות כלליים

חישוב סכום 20 האיברים הראשונים בסדרה: Sn = n/2 * (2a1 + (n-1)d) = 20/2 * (2*2 + (20-1)*3) = 10 * (4 + 57) = 10 * 61 = 610
מציאת סכום 15 האיברים האחרונים בסדרה: תחילת האיבר: a16 = a1 + 15d = 2 + 15*3 = 2 + 45 = 47 סכום 15 האיברים: Sn = n/2 * (afirst + alast) = 15/2 * (47 + a30) כאשר a30 = a1 + 29d = 2 + 29*3 = 2 + 87 = 89 Sn = 7.5 * (47 + 89) = 7.5 * 136 = 1020
חישוב סכום 15 איברים מהסוף בנוסחה הפוכה: a30 = a1 + 29d = 2 + 29*3 = 89 מספר האיברים n=15 d חדש = -3 Sn = 15/2 * (2*89 - (15-1)*(-3)) = 7.5 * (178 + 42) = 7.5 * 220 = 1650 הערה: בהקשר זה יש לשים לב שכאשר מחשבים הסכום מהסוף d הופך למינוס, מה שמעלה את הסכום הכולל.
חישוב סכום חלקי סדרה חשבונית: סכום 20 האיברים הראשונים: Sn1 = 20/2 * (2*2 + 19*3) = 10 * (4 + 57) = 610 איבר התחלה של 15 האחרונים: a16 = 2 + 15*3 = 47 איבר סיום: a30 = 2 + 29*3 = 89 סכום 15 האיברים האחרונים: Sn2 = 15/2 * (47 + 89) = 7.5 * 136 = 1020

הפריט הקודם הפריט הבא

א27. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא סכום 15 האיברים האחרונים

נתון 1

נתון 2

מספר האיברים הכולל: 30

הרעיון המרכזי

a16 = 2 + 15 * 3 = 47; a30 = 2 + 29 * 3 = 89

Sn = n/2 * (afirst + alast) = 15/2 * (47 + 89)

Sn = 7.5 * 136 = 1020

פתרון מפורט

נתונים עיקריים

למצוא התחלת החישוב

חשב את a16 ו-a30

נוסחת סכום הסדרה

חשב סכום

פתרונות כלליים