השיעור עוסק בזיהוי ובפתרון משוואות בסדרה חשבונית כאשר שלושה איברים סמוכים מיוצגים בצורה אלגברית עם שורשים. נלמד כיצד להשתמש בחוק האיבר האמצעי בסדרה חשבונית, לכתוב משוואה מתאימה, ולהעלות בריבוע בצורה נכונה כדי לפתור בעיות הכוללות שורשים.
להבין את המאפיין של שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית
לנצל את העובדה שהאיבר האמצעי בשוויון כפול שווה לסכום שני האיברים הסמוכים
ללמוד להעלות משוואה עם שורשים בריבוע בצורה נכונה לפי נוסחת כפל מקוצר
לזהות טעויות נפוצות בשימוש בהעלאות בריבוע ולבדוק פתרונות לאחר העלאות אלה
לפתור משוואות אלגבריות הכוללות שורשים בסדרה חשבונית
הגדרת הסדרה החשבונית ושלושת האיברים הסמוכים: מוצגים שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית עם רווח שווה בין איבריהם. מנוסח כי האיבר האמצעי כפול שווה לסכום שני האיברים הסמוכים לו.
כתיבת המשוואה שמכילה שורשים: דרך כתיבת המשוואה כאשר האיברים הם שורשים של ביטויים אלגבריים. הדגשה שיש להעלות בריבוע את הביטוי המלא ולא כל איבר בנפרד, ולבדוק תקפות פתרונות לאחר העלאה בריבוע.
פישוט ופתרון המשוואה: פתרון המשוואה לאחר העלאה בריבוע, עבר דרך פישוט עם ביטויים אלגבריים, העברה אגפים, העלאה בשנית בריבוע במידת הצורך, ולבסוף בדיקת הפתרונות עם מחשבון

תרגול קצר

זיהוי איברים בסדרה חשבונית

רמת קושי: קל

ממתין

אם שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית הם a, b, ו-c, כתוב את המשוואה שקושרת בינהם.

סדרה חשבוניתאיברים סמוכים

רמז: השתמש בתכונה שהאיבר האמצעי כפול שווה לסכום שני האחרים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2*b = a + c

המשוואה היא 2*b = a + c.

פתרון משוואה עם שורשים בסדרה חשבונית

רמת קושי: בינוני

ממתין

נתונים שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית: שורש(x-23), שורש(x), ושורש(2x+1). כתוב משוואה מתאימה והראה כיצד לפתור את x.

סדרה חשבוניתמשוואות עם שורשיםהעלאת בריבוע

רמז: השתמש בתכונת האיבר האמצעי, ואז העלה בריבוע את שני האגפים יחד ובהמשך במידת הצורך שוב.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 4

יש לכתוב 2*שורש(x) = שורש(x-23) + שורש(2x+1). מעלים בריבוע את שני האגפים לפי נוסחת כפל מקוצר. מבצעים פישוט, אם יש צורך מעלה בריבוע נוספת. לסיום, בודקים את הפתרונות שמציבים חזרה במשוואה המקורית.

פתרון משוואות עם שורשים בסדרה חשבונית - בגרות

רמת קושי: בגרות

ממתין

שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית הם: שורש(x-23), שורש(x), שורש(2x+1). הוכח ש-2*שורש(x) = שורש(x-23) + שורש(2x+1) ופתור את הערך של x.

בגרותסדרה חשבוניתמשוואות עם שורשיםהעלאת בריבוע

רמז: השתמש בחוק האיבר האמצעי בסדרה חשבונית; העלה בריבוע לפי נוסחת הכפל המקוצר; בדוק פתרונות בסוף.

פתרון מלא

תשובה סופית: x = 4

מיישמים 2*b = a + c לקבל משוואה עם שורשים. מעלים בריבוע את שני האגפים (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 הפיקו משוואה אלגברית ופשטו. מעלים שוב בריבוע במקרה הצורך ומפשטים. בודקים כל פתרון במשוואה המקורית כדי לוודא שהוא תקף. התוצאה היא x=4 לאחר בדיקה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון משוואה בסדרה חשבונית עם שורשים

שלושה איברים סמוכים עם שורשים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מצא את הערך של x שיכול להתקיים
נתון 1
האיברים: שורש(x-23), שורש(x), שורש(2x+1)
נתון 2
הם שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בתכונת האיבר האמצעי בסדרה חשבונית, נכתוב משוואה, ונעלה בריבוע כדי לפתור את x.
נוסחה
מכניסים את המשתנים ליחס: 2*שורש(x) = שורש(x-23) + שורש(2x+1)
2 * sqrt(x) = sqrt(x - 23) + sqrt(2x + 1)2*√x = √(x-23) + √(2x+1)2x = x - 23 + 2x + 1
משוואה
מעלים בריבוע את כל שני האגפים יחד לפי נוסחת כפל מקוצר
מעלים בריבוע את כל שני האגפים יחד לפי נוסחת כפל מקוצר
(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2
פישוט
מיישמים את החזקות והכופלים בהתאם, מפשטים לפי חוקי אלגברה
מיישמים את החזקות והכופלים בהתאם, מפשטים לפי חוקי אלגברה
4x = x - 23 + 2*√[(x-23)(2x+1)] + 2x + 1
תוצאה
מסיימים בתשובה
מבודדים שורש, מעלים שוב בריבוע ופותרים את המשוואה

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת האיברים בסדרה

מה עושים

נסמן את האיברים a=שורש(x-23), b=שורש(x), c=שורש(2x+1)

למה

זה מאפשר לנו לעבוד עם משתנים ברורים לשלב הבא

בסדרה חשבונית שלושה איברים סמוכים ניתנים כך

בחירת שיטה

נוסחה לסדרה חשבונית

מה עושים

כותבים את התכונה 2*b = a + c

למה

מאפיין יסודי של שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית

המשוואה שתעזור לנו לפתור את x

נוסחה / הצבה

2 * b = a + c2*b = a + c2b = a + c

בניית משוואה

כתיבת המשוואה עם שורשים

מה עושים

מכניסים את המשתנים ליחס: 2*שורש(x) = שורש(x-23) + שורש(2x+1)

למה

כעת יש לנו משוואה עם שורשים שיש לפתור

משוואה ראשונית לפתרון

נוסחה / הצבה

2 * sqrt(x) = sqrt(x - 23) + sqrt(2x + 1)2*√x = √(x-23) + √(2x+1)2x = x - 23 + 2x + 1

פתרון

העלאת המשוואה בריבוע

מה עושים

מעלים בריבוע את כל שני האגפים יחד לפי נוסחת כפל מקוצר

למה

להסיר שורשים ולפשט למשוואה אלגברית

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 - אסור להעלות כל איבר בנפרד

נוסחה / הצבה

(a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 * a * b + b ^ 2(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

אין להעלות כל שורש בנפרד אלא את הביטוי כולו

פתרון

פישוט המשוואה האלגברית

מה עושים

מיישמים את החזקות והכופלים בהתאם, מפשטים לפי חוקי אלגברה

למה

לקבל משוואה ריבועית או פולינומיאלית של x

נוסחה / הצבה

4 * x = x - 23 + 2 * sqrt((x - 23) * (2x + 1)) + 2 * x + 14x = x - 23 + 2*√[(x-23)(2x+1)] + 2x + 14x = x - 23 + 2 (x-23)(2x+1) + 2x + 1

פתרון

העלאה נוספת בריבוע (אם נדרש)

מה עושים

מבודדים שורש, מעלים שוב בריבוע ופותרים את המשוואה

למה

לשחרר את השורש שנותר ולהגיע למשוואה אלגברית פשוטה

חשוב לבצע בדיקות לאחר כל העלאות בריבוע

פתרונות כלליים

זיהוי איברים בסדרה חשבונית: המשוואה היא 2*b = a + c.
פתרון משוואה עם שורשים בסדרה חשבונית: יש לכתוב 2*שורש(x) = שורש(x-23) + שורש(2x+1). מעלים בריבוע את שני האגפים לפי נוסחת כפל מקוצר. מבצעים פישוט, אם יש צורך מעלה בריבוע נוספת. לסיום, בודקים את הפתרונות שמציבים חזרה במשוואה המקורית.
פתרון משוואות עם שורשים בסדרה חשבונית - בגרות: מיישמים 2*b = a + c לקבל משוואה עם שורשים. מעלים בריבוע את שני האגפים (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 הפיקו משוואה אלגברית ופשטו. מעלים שוב בריבוע במקרה הצורך ומפשטים. בודקים כל פתרון במשוואה המקורית כדי לוודא שהוא תקף. התוצאה היא x=4 לאחר בדיקה.

הפריט הקודם הפריט הבא

א23. סדרה חשבונית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מצא את הערך של x שיכול להתקיים

האיברים: שורש(x-23), שורש(x), שורש(2x+1)

הם שלושה איברים סמוכים בסדרה חשבונית

הרעיון המרכזי

מכניסים את המשתנים ליחס: 2*שורש(x) = שורש(x-23) + שורש(2x+1)

מעלים בריבוע את כל שני האגפים יחד לפי נוסחת כפל מקוצר

מיישמים את החזקות והכופלים בהתאם, מפשטים לפי חוקי אלגברה

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

הגדרת האיברים בסדרה

נוסחה לסדרה חשבונית

כתיבת המשוואה עם שורשים

העלאת המשוואה בריבוע

פישוט המשוואה האלגברית

העלאה נוספת בריבוע (אם נדרש)

פתרונות כלליים