ניתוח ופתרון תרגיל בסדרה הנדסית המתארת סדרת תשלומים גדלים בשיעור קבוע.
להבין ולהגדיר סדרה הנדסית מבעיה מילולית
לנסח ולזהות את האיברים בסדרה בעזרת הנוסח הכללי
לכתוב משוואה למצב נתון ולפתור אותה
להבין ולהסביר את משמעות המקדמים ויחס הגידול בסדרה
הגדרת הבעיה: ישנה סדרה של חמישה תשלומים כאשר כל תשלום הוא גדול ב-25% מהתשלום שקדם לו. ניתן סכום שני התשלומים האחרונים ומבקשים למצוא את התשלום הראשון.
כתיבת המשוואה ופתרונה: מניחים יחס הגדלה כלומר 1.25, מגדירים את האיברים בהתאם, כותבים את המשוואה לסכום שני התשלומים האחרונים, ומוציאים גורם משותף לפישוט הפתרון.

תרגול קצר

מצא את התשלום הראשון בסדרה הנדסית

רמת קושי: קל

ממתין

בהלוואה מחולקת ל-5 תשלומים, כל תשלום גדול ב-25% מהתשלום שקדם לו. סכום שני התשלומים האחרונים הוא 11,250 שקלים. חשב את גודל התשלום הראשון.

סדרה הנדסיתתשלומיםחישוב איבר ראשון

רמז: השתמש בנוסחת האיבר ה-n של סדרה הנדסית, הגדר את יחס הגדילה וכתוב משוואה לסכום שני התשלומים האחרונים.

פתרון מלא

תשובה סופית: 2560

נסמן את התשלום הראשון A1 ואת יחס הגדילה q=1.25. \nהתשלום הרביעי הוא A4 = A1 * q^3 \nהתשלום החמישי הוא A5 = A1 * q^4 \nסכום שני התשלומים האחרונים \nA4 + A5 = A1*q^3 + A1*q^4 = A1 * (q^3 + q^4) = 11250 \nנצא A1 = 11250 / (q^3 + q^4) \nנציב q=1.25 \nחישוב: \n1.25^3 = 1.953125, \n1.25^4 = 2.44140625 \nסך הכול: 1.953125 + 2.44140625 = 4.39453125 \nלכן, A1 = 11250 / 4.39453125 = 2560

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תשלום ראשון בסדרה הנדסית

חישוב תשלום ראשון מהסכום של שני התשלומים האחרונים

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא התשלום הראשון A1
נתון 1
מספר תשלומים: 5
נתון 2
נתון 2
הגדלה של 25% בכל תשלום (q=1.25)
נתון 3
נתון 3
סכום התשלום הרביעי והחמישי = 11,250
רעיון
הרעיון המרכזי
כתוב את האיברים הרביעי והחמישי לפי A1 ו-q, תוך שימוש בנוסחה, ואז תרשום משוואה ופתור אותה.
נוסחה
כתוב A4 + A5 = 11250, הצב את הביטויים מהשלב הקודם
A1 * q^3 + A1 * q^4 = 11250A_1 * q^3 + A_1 * q^4 = 11250A_1 x q^(3) + A_1 x q^(4) = 11250
משוואה
הוצא A1, חשב את סכום החזקות, חלק את 11250 בתוצאה
הוצא A1, חשב את סכום החזקות, חלק את 11250 בתוצאה
A1 = 11250 / (q^3 + q^4)A_1 (q^3 + q^4) = 11250A_1 = 11250 / (q^3 + q^4)A_1 = (11250)/(q^(3) + q^(4))
פישוט
מפשטים
מפשטים כדי להגיע לנעלם.

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

מה אנו רוצים למצוא?

מה עושים

למצוא את גודל התשלום הראשון בסדרה

למה

ה- A1 הוא ערך הבסיס של הסדרה הנדסית והתחלת התשלומים.

זיהוי נתונים

הגדרת יחס הגדילה q

מה עושים

נתון שכל תשלום גדול ב-25% מהקודם ולכן q=1.25

למה

יחס הגדילה הוא פי השטח האחיד בין התשלומים בסדרה ההנדסית.

זיהוי נתונים

סכום שני התשלומים האחרונים

מה עושים

נתון שסכום A4 + A5 = 11250

למה

זה נותן משוואה לפתרון התשלום הראשון.

בחירת שיטה

ייצוג התשלומים בעזרת A1 ו-q

מה עושים

איברי התשלומים 4 ו-5 כתובים כך: A4=A1*q^3, A5=A1*q^4

למה

מתוך הנוסחה הכללית של סדרה הנדסית, האיבר n הוא A1 כפול q בחזקת n-1.

נוסחה / הצבה

A4 = A1 * q^3A5 = A1 * q^4A_4 = A_1 * q^3A_5 = A_1 * q^4A_4 = A_1 x q^(3)

זה מפשט את הבעייה לפתרון משוואה ב-A1.

בניית משוואה

משוואה לסכום שני תשלומים אחרונים

מה עושים

כתוב A4 + A5 = 11250, הצב את הביטויים מהשלב הקודם

למה

לסכום יש ערך ידוע, משמש לפתרון A1

נוסחה / הצבה

A1 * q^3 + A1 * q^4 = 11250A_1 * q^3 + A_1 * q^4 = 11250A_1 x q^(3) + A_1 x q^(4) = 11250

אפשר להוציא גורם משותף A1.

פתרון

פתור את המשוואה ל-A1

מה עושים

הוצא A1, חשב את סכום החזקות, חלק את 11250 בתוצאה

למה

כדי למצוא את התשלום הראשון בדיוק

נוסחה / הצבה

A1 = 11250 / (q^3 + q^4)A_1 (q^3 + q^4) = 11250A_1 = 11250 / (q^3 + q^4)A_1 = (11250)/(q^(3) + q^(4))

חשב בקפידה את החזקות של 1.25.

פתרונות כלליים

מצא את התשלום הראשון בסדרה הנדסית: נסמן את התשלום הראשון A1 ואת יחס הגדילה q=1.25. \nהתשלום הרביעי הוא A4 = A1 * q^3 \nהתשלום החמישי הוא A5 = A1 * q^4 \nסכום שני התשלומים האחרונים \nA4 + A5 = A1*q^3 + A1*q^4 = A1 * (q^3 + q^4) = 11250 \nנצא A1 = 11250 / (q^3 + q^4) \nנציב q=1.25 \nחישוב: \n1.25^3 = 1.953125, \n1.25^4 = 2.44140625 \nסך הכול: 1.953125 + 2.44140625 = 4.39453125 \nלכן, A1 = 11250 / 4.39453125 = 2560

הפריט הקודם הפריט הבא

ב8. סדרה הנדסית פתרון תרגיל בעייה מציאותית

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא התשלום הראשון A1

מספר תשלומים: 5

נתון 2

נתון 3

הרעיון המרכזי

כתוב A4 + A5 = 11250, הצב את הביטויים מהשלב הקודם

הוצא A1, חשב את סכום החזקות, חלק את 11250 בתוצאה

מפשטים

פתרון מפורט

מה אנו רוצים למצוא?

הגדרת יחס הגדילה q

סכום שני התשלומים האחרונים

ייצוג התשלומים בעזרת A1 ו-q

משוואה לסכום שני תשלומים אחרונים

פתור את המשוואה ל-A1

פתרונות כלליים