השיעור דן בסדרה הנדסית יורדת עם תנאים על סכומים של איברים שונים, ומראה כיצד למצוא את המנה q, איבר ראשון a1, ואת סכום כל האיברים בסדרה מתכנסת.
להבין מהי סדרה הנדסית יורדת
ליישם סכומים של איברים בסדרה כדי למצוא פרמטרים לא ידועים
להרכיב ולפתור משוואות אלגבריות בסדרה הנדסית
לחשב סכום סופי של סדרה הנדסית מתכנסת
הגדרת הבעיה: יש סדרה הנדסית אינסופית יורדת. ידועים סכומי איברים מסוימים, ומבקשים למצוא את המנה q.
פיתוח המשוואות ופתרון: הרכבת משוואות על סמך הנתונים, הפקת גורמים משותפים, חלוקה לפישוט, וניסיון למצוא את הערך q.
מציאת איבר ראשון וסכום הסדרה: לאחר מציאת q מציבים במשוואה עם סכום האיברים לקבלת a1, ולבסוף מחשבים סכום כולו של הסדרה המתכנסת.

תרגול קצר

מציאת q בסדרה הנדסית יורדת

רמת קושי: קל

ממתין

בסדרה הנדסית אינסופית יורדת סכום האיברים הראשון והשלישי הוא 78, וסכום האיברים השני והרביעי הוא 52. חשב את המנה q של הסדרה.

סדרה הנדסיתמנהיורדת

רמז: השתמש בסכומים הנתונים לכתיבת שתי משוואות ולאחר מכן חלק משוואות זו בזו לפישוט.

פתרון מלא

תשובה סופית: q = 2/3

נסמן a1 את האיבר הראשון ו-q את המנה. סכום הראשון ושלישי: a1 + a1 * q^2 = 78. סכום השני והרביעי: a1*q + a1*q^3 = 52. נוציא a1 מהמשוואה הראשונה: a1(1 + q^2) = 78, ובשנייה: a1 * q (1 + q^2) = 52. נחלק את המשוואות: (a1(1 + q^2)) / (a1 * q (1 + q^2)) = 78 / 52 => 1 / q = 78 / 52 => q = 52 / 78 = 2/3 ≈ 0.666. מאחר והסדרה יורדת, q אכן בין 0 ל-1 ולכן q=2/3.

חישוב a1 וסכום הסדרה

רמת קושי: בינוני

ממתין

בהינתן שהמנה q בסדרה הנדסית עולה 2/3 וסכום האיברים הראשון והשלישי הוא 78, חשב את האיבר הראשון a1 ואת סכום כל הסדרה המתכנסת.

חישוב a1סכום סדרהסדרה הנדסית

רמז: השתמש בנוסחה a1(1 + q^2) = 78 לצורך חישוב a1, ולאחר מכן השתמש בנוסחה של סכום אינסופי.

פתרון מלא

תשובה סופית: a1 = 54, סכום הסדרה = 162

מהמשוואה a1 (1 + q^2) = 78, נציב q=2/3: 1 + (2/3)^2 = 1 + 4/9 = 13/9. לכן, a1 = 78 / (13/9) = 78 * (9/13) = 54. סכום הסדרה S = a1 / (1 - q) = 54 / (1 - 2/3) = 54 / (1/3) = 162.

אימות תכונות הסדרה והפרמטרים

רמת קושי: מאתגר

ממתין

בדוק שהערכים q=2/3 ו-a1=54 מתאימים לתנאי שהסדרה הנדסית יורדת ושהסכומים של האיברים הנתונים נכונים.

אימותסדרה הנדסיתתכונות

רמז: חשב את האיברים הראשונים והאחרים והצלב אותם עם סכומי האיברים.

פתרון מלא

תשובה סופית: הערכים מתאימים ותואמים את התנאים.

נחשב את האיברים: a1=54, a2=54*(2/3)=36, a3=54*(2/3)^2=24, a4=54*(2/3)^3=16. סכום האיברים הראשון והשלישי: 54+24=78. סכום האיברים השני והרביעי: 36+16=52. שני הסכומים נכונים. q=2/3 הוא בין 0 ל-1 ולכן הסדרה יורדת כמצופה.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית יורדת

מצא את המנה q בסדרה נתונה על פי סכומי איברים

8 תחנות5 שלבי פירוט3 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא המנה q של הסדרה
נתון 1
נתון 1
סכום האיבר הראשון והשלישי = 78
נתון 2
נתון 2
סכום האיבר השני והרביעי = 52
נתון 3
הסדרה היא הנדסית אינסופית יורדת
רעיון
הרעיון המרכזי
נרשום משוואות לסכומי האיברים הנתונים, נבצע חלוקה ביניהן לפישוט ונמצא את q.
נוסחה
a1 + a1*q^2 = 78
a1 + a1 q^2a1 + a1 * q^2a_1 + a_1 q^(2)
משוואה
מחליקים ונחלק: 1/q = 78/52
מחליקים ונחלק: 1/q = 78/52
(a1 (1 + q^2)) / (a1 q (1 + q^2)) = 78 / 52(a_1 (1 + q^(2)))/(a_1 q (1 + q^(2))) = (78)/(52)
פישוט
q = 52 / 78 = 2/3
q = 52 / 78 = 2/3
q = 52 / 78q = (52)/(78)

q = 52 / 78q = (52)/(78)

בדוק ש-q בין 0 ל-1.

פתרונות כלליים

מציאת q בסדרה הנדסית יורדת: נסמן a1 את האיבר הראשון ו-q את המנה. סכום הראשון ושלישי: a1 + a1 * q^2 = 78. סכום השני והרביעי: a1*q + a1*q^3 = 52. נוציא a1 מהמשוואה הראשונה: a1(1 + q^2) = 78, ובשנייה: a1 * q (1 + q^2) = 52. נחלק את המשוואות: (a1(1 + q^2)) / (a1 * q (1 + q^2)) = 78 / 52 => 1 / q = 78 / 52 => q = 52 / 78 = 2/3 ≈ 0.666. מאחר והסדרה יורדת, q אכן בין 0 ל-1 ולכן q=2/3.
חישוב a1 וסכום הסדרה: מהמשוואה a1 (1 + q^2) = 78, נציב q=2/3: 1 + (2/3)^2 = 1 + 4/9 = 13/9. לכן, a1 = 78 / (13/9) = 78 * (9/13) = 54. סכום הסדרה S = a1 / (1 - q) = 54 / (1 - 2/3) = 54 / (1/3) = 162.
אימות תכונות הסדרה והפרמטרים: נחשב את האיברים: a1=54, a2=54*(2/3)=36, a3=54*(2/3)^2=24, a4=54*(2/3)^3=16. סכום האיברים הראשון והשלישי: 54+24=78. סכום האיברים השני והרביעי: 36+16=52. שני הסכומים נכונים. q=2/3 הוא בין 0 ל-1 ולכן הסדרה יורדת כמצופה.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב17. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא המנה q של הסדרה

נתון 1

נתון 2

הסדרה היא הנדסית אינסופית יורדת

הרעיון המרכזי

a1 + a1*q^2 = 78

מחליקים ונחלק: 1/q = 78/52

q = 52 / 78 = 2/3

פתרון מפורט

סכום ראשון ושלישי

סכום שני ורביעי

להוציא גורם משותף ולפשט

חישוב יחס בין המשוואות

מוצא q

פתרונות כלליים