פתרון בעיה מתוך סדרה הנדסית מתכנסת שבה משווים סכומים של טורים כדי למצוא את מנת הסדרה.
הבנת טור הנדסי מתכנס ואופן חישוב סכומו
הערכת מהותיות שימוש בנוסחה של סכום טור הנדסי
פתרון משוואה למציאת מנת הסדרה
יישום צמצום ביטויים אלגבריים בפישוט המשוואה
הגדרת הבעיה: יש להשוות סכומים של טורים הנדסיים שונים ולהשתמש בכך למציאת מנת הסדרה.
פתרון המשוואה: כתיבת המשוואה, זיהוי איברים מקבילים, וצמצום ביטויים למציאת המנה Q.

תרגול קצר

מצא את מנת הסדרה ההנדסית

רמת קושי: קל

ממתין

ניתן כי סכום טור הנדסי יורד גדול פי שמונה מסכום הטור החל מהאיבר הרביעי. אם איבר ראשון הוא a1, מצא את מנת הסדרה Q.

סדרה הנדסיתטור מתכנסמציאת מנת סדרה

רמז: השתמש בנוסחת סכום הטור הנדסי S= a1 חלקי (1-Q). כתוב משוואה בין סכום הטור המלא לסכום מהאיבר הרביעי והבא.

פתרון מלא

תשובה סופית: Q = 1/2

נסמן סכום הטור המלא ב S = a1/(1-Q). סכום הטור החל מהאיבר הרביעי הוא a1 * Q^3 / (1 - Q). לפי הנתון: S = 8 * (a1 * Q^3 / (1 - Q)) נציב ונקבל: a1/(1-Q) = 8 * a1 * Q^3 / (1-Q) צמצום מיידי של a1 ו-(1-Q) נותן: 1 = 8 * Q^3 מכאן: Q^3 = 1/8 ולכן: Q = 1/2.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל חישוב מנת סדרה הנדסית מתכנסת

השוואת סכומי טורים לחשיפת מנת הסדרה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא מצא את מנת הסדרה Q
נתון 1
a1 - האיבר הראשון בסדרה
נתון 2
הסכום הכולל של הטור: a1/(1-Q)
נתון 3
נתון 3
הסכום מהאיבר הרביעי והלאה: a1 * Q^3 /(1-Q)
רעיון
הרעיון המרכזי
כתוב משוואה בין סכומי הטורים, בצע צמצום ובידוד Q.
נוסחה
כתוב את סכום הטור המלא בנוסחה S = a1 חלקי (1-Q)
S = a1 / (1 - Q)S = (a_1)/(1 - Q)
משוואה
ביטול a1 ומכנה (1-Q) משני צידי המשוואה
ביטול a1 ומכנה (1-Q) משני צידי המשוואה
1 = 8 * Q^31 = 8 Q^3
פישוט
פיתרון Q בחזקה 3 שווה 1 חלקי 8
פיתרון Q בחזקה 3 שווה 1 חלקי 8
Q^3 = 1 / 8Q^3 = 1/8

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

סכום הטור המלא

מה עושים

כתוב את סכום הטור המלא בנוסחה S = a1 חלקי (1-Q)

למה

זוהי נוסחת סכום טור הנדסי מתכנס.

משתמשים בנוסחה המוכרת לסכום טור הנדסי מתכנס בנוי של סדרה עם a1 ו-Q.

נוסחה / הצבה

S = a1 / (1 - Q)S = (a_1)/(1 - Q)

חשוב להכיר את הכפלת a1 במכנה.

זיהוי נתונים

סכום הטור מהאיבר הרביעי

מה עושים

חשוב שסכום הטור החל מהאיבר הרביעי יהיה a1 כפול Q בחזקת 3 חלקי (1-Q)

למה

כיוון שהאיבר הרביעי הוא a1 כפול Q בשלישית והסכום הוא טור הנדסי מתכנס.

הסכום מהאיבר הרביעי מאפשר לבדוק יחס בין הטור הראשוני לטור החלקי.

נוסחה / הצבה

S4 = a1 * Q^3 / (1 - Q)S_4 = a1 * Q^3 / (1 - Q)S_4 = (a_1 Q^3)/(1 - Q)

נקודות הגבול חשובות לזיהוי.

בחירת שיטה

יצירת משוואה בין הסכומים

מה עושים

קבע שהסכום הכולל שווה ל 8 פעמים סכום מהאיבר הרביעי

למה

כך מנצל את הנתון ש־'הסכום יורד גדול פי שמונה'

על ידי זה ניתן לבודד את Q ולהפוך את המשוואה לפתירה.

נוסחה / הצבה

a1 / (1 - Q) = 8 * (a1 * Q^3 / (1 - Q))a1/(1-Q) = 8 * (a1 * Q^3 / (1-Q))(a_1)/(1 - Q) = 8 x (a_1 Q^3)/(1 - Q)

לא לשכוח את הצמצום בין אגפים.

בניית משוואה

צמצום בפישוט המשוואה

מה עושים

ביטול a1 ומכנה (1-Q) משני צידי המשוואה

למה

כדי לקבל משוואה פשוטה למצוא את Q

מסירים גורמים זהים כדי להישאר עם משוואה נקייה לפתרון.

נוסחה / הצבה

1 = 8 * Q^31 = 8 Q^3

זכור לחלק אגפים נכון.

פתרון

חישוב ערך Q

מה עושים

פיתרון Q בחזקה 3 שווה 1 חלקי 8

למה

הפתרון מראה מהי מנת הסדרה

הוצא שורש שלישי של 1/8.

נוסחה / הצבה

Q^3 = 1 / 8Q^3 = 1/8Q^3 = (1)/(8)

הערך שנמצא חייב להיות בין -1 ל-1 כדי להתכנס.

בדיקה

בדוק וננסח את התוצאה

מה עושים

Q הוא 1 חלקי 2, טור מתכנס

למה

מכיוון שערך Q בין 0 ל-1 הטור אכן מתכנס

סיכום המסלול והראייה שהתוצאה הגיונית מתמטית ומותאמת לתנאי הבעיה.

נוסחה / הצבה

Q = 1 / 2Q = 1/2Q = (1)/(2)

יש לוודא שפתרון Q יוצר טור יורד.

פתרונות כלליים

מצא את מנת הסדרה ההנדסית: נסמן סכום הטור המלא ב S = a1/(1-Q). סכום הטור החל מהאיבר הרביעי הוא a1 * Q^3 / (1 - Q). לפי הנתון: S = 8 * (a1 * Q^3 / (1 - Q)) נציב ונקבל: a1/(1-Q) = 8 * a1 * Q^3 / (1-Q) צמצום מיידי של a1 ו-(1-Q) נותן: 1 = 8 * Q^3 מכאן: Q^3 = 1/8 ולכן: Q = 1/2.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב18. סדרה הנדסית מתכנסת פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא מצא את מנת הסדרה Q

a1 - האיבר הראשון בסדרה

הסכום הכולל של הטור: a1/(1-Q)

נתון 3

הרעיון המרכזי

כתוב את סכום הטור המלא בנוסחה S = a1 חלקי (1-Q)

ביטול a1 ומכנה (1-Q) משני צידי המשוואה

פיתרון Q בחזקה 3 שווה 1 חלקי 8

פתרון מפורט

סכום הטור המלא

סכום הטור מהאיבר הרביעי

יצירת משוואה בין הסכומים

צמצום בפישוט המשוואה

חישוב ערך Q

בדוק וננסח את התוצאה

פתרונות כלליים