וידאו · סדרות
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
ב21. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב22. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב23. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב24. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב25. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ב26. סדרה הנדסית פתרון תרגיל
ג1. סדרת נסיגה
ג2. סדרת נסיגה
ג3. סדרת נסיגה
ג4. סדרת נסיגה
ג5. סדרת נסיגה
ג6. סדרת נסיגה
ג7. סדרת נסיגה
ג8. סדרת נסיגה
מציאת המנה וסדר הסדרה
רמת קושי: קל
יש סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת, בה סכום האיברים במיקומים האי-זוגיים הוא 64, ובמיקומים הזוגיים 48. מצא את המנה Q ואת האיבר הראשון A1 של הסדרה.
רמז: חלק את הסדרה לשתי תת-סדרות: האי-זוגיות והזוגיות. זיהה שמתקבלת סדרה הנדסית עם מנה Q בריבוע. השתמש בנוסחאות סכום סדרות מתכנסות.
תשובה סופית: Q=0.75, A1=28
נסמן את האיבר הראשון של הסדרה ב-A1 ואת המנה ב-Q. סכום האיברים במיקומים האי-זוגיים הוא סכום סדרה הנדסית עם האיבר הראשון A1 והמנה Q בריבוע: S_odd = A1 / (1 - Q^2) = 64 סכום האיברים במיקומים הזוגיים הוא סכום סדרה הנדסית עם האיבר הראשון A1*Q והמנה Q בריבוע: S_even = A1 * Q / (1 - Q^2) = 48 מחלקים משוואות: (64 / 48) = (A1 / (1 - Q^2)) / (A1 * Q / (1 - Q^2)) = 1 / Q 64/48=4/3, לכן 1/Q=4/3 לכן Q=3/4 = 0.75 מכניסים ל-S_odd: 64 = A1 / (1 - (3/4)^2) = A1 / (1 - 9/16) = A1 / (7/16) A1 = 64 * 7/16 = 28
מציאת המנה והאיבר הראשון
פירוק הסדרה לשתי תת-סדרות והקמת משוואות סכום לסדרה הנדסית מתכנסת עם המנה Q בריבוע.
S_odd = A1 / (1 - Q^2) = 64S_even = A1 * Q / (1 - Q^2) = 48S_odd = A1/(1-Q^2) = 64S_even = A1*Q/(1-Q^2) = 48S_odd = (A_1)/(1 - Q^2) = 64מציבים את הנתונים במשוואה.
מחלקים את המשוואות ומוצאים את היחס בין A1 לבין Q
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
זיהוי נתונים
מה עושים
נכין את הנתונים שניתנו בשאלה
למה
כדי להבין מה ידוע ומה מחפשים
סכומי שני תת-הסדרות וידיעה שהסדרה היא הנדסית מתכנסת
בחירת שיטה
מה עושים
נבין שסדרת האיברים האי-זוגיים היא סדרה הנדסית עם מנה Q בריבוע
למה
בחירת תבנית מתמטית פשוטה יותר לניתוח
קפיצה של איבר אחד משנה את המנה למנה בריבוע
כשמדלגים איבר בסדרה הנדסית, המנה היא ריבוע המנה המקורית
בניית משוואה
מה עושים
ננסח משוואות סכום עבור האיברים באי-זוגיים ובזוגיים לפי נוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית
למה
כדי לקבל משוואות שאפשר לפתור
המשוואות בעזרת A1 ו-Q
נוסחה / הצבה
S_odd = A1 / (1 - Q^2) = 64S_even = A1 * Q / (1 - Q^2) = 48S_odd = A1/(1-Q^2) = 64S_even = A1*Q/(1-Q^2) = 48S_odd = (A_1)/(1 - Q^2) = 64יחס בין הסכומים מאפשר למצוא את Q
פתרון
מה עושים
מחלקים את המשוואות ומוצאים את היחס בין A1 לבין Q
למה
כדי לפתור עבור Q
4/3=1/Q לכן Q=3/4
פתרון
מה עושים
מחזירים ל-S_odd ומחשבים
למה
כדי למצוא את האיבר הראשון
A1=64 * (1-(3/4)^2) = 28
תשובה
מה עושים
מציגים את Q ו-A1 שנמצאו
למה
זוהי התשובה לבעיה
Q=0.75, A1=28