השיעור עוסק בפתרון תרגיל בסדרה הנדסית בעלת 2N איברים, הכולל סימון האיברים, הבנת סכומי הסדרה, בניית משוואות ופתרונן למציאת המנה Q ויחס הסכומים.
להבין את הסימונים בשרשרת סדרה הנדסית
לדעת לכתוב את סכום הסדרה וסכום N האיברים האחרונים
לתרגל בניית משוואות לצמצום ביטויים בסדרה הנדסית
להפעיל צמצומים והתמרות אלגבריות לפתרון המשוואה
למצוא את ערך המנה Q
לחשב את יחס הסכומים בין כל הסדרה לסכום N האיברים הראשונים
הכרת הסדרה והסימונים: מוסברים הסימונים השונים בשרשרת הסדרה: A1, A2,..., AN-1, AN, AN+1 וכן המנה Q.
כתיבת סכומים והבנת הנתונים: נבחנים סכום כל הסדרה וסכום N האיברים האחרונים, וכיצד הם קשורים אחד לשני ביחס 65/64.
פתרון המשוואה למציאת המנה: בעזרת ניסוח וביטוי המשתנים, פישוט וצמצום, מקבלים משוואה ליניארית לפתרון Q.

תרגול קצר

מצא את ערך המנה Q בסדרה

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה סדרה הנדסית בעלת 24 איברים, כאשר סכום כל הסדרה גדול פי 65/64 מסכום 12 האיברים הראשונים. חשב את ערך המנה Q.

סדרה הנדסיתחשבונות סדרותשורש מסדר n

רמז: השתמש בנוסחאות סכום הסדרה ויחס הסכומים הנתון כדי לבנות משוואה ולפתור אותה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הערך של Q הוא השורש ה-12 של 64, כלומר Q = 64^(1/12) ≈ 1.414.

נסמן את סכום כל הסדרה S ונקרא ל-sum12 סכום 12 האיברים הראשונים. לפי הנתון S = (65/64) * sum12. סכום n איברים הוא A1*(Q^n -1)/(Q-1). לכן, מהנתון נקבל משוואה באיברי Q שניתן לפתור בהוצאת שורש מסדר 12.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית - חישוב המנה Q

הבנת הקשר בין סכומי הסדרה ופתרון משוואה

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא ערך המנה Q בסדרה
נתון 1
סדרה הנדסית בת 24 איברים
נתון 2
סכום כל הסדרה הוא פי 65/64 מסכום 12 האיברים הראשונים
נתון 3
A1 - האיבר הראשון בסדרה
רעיון
הרעיון המרכזי
נשתמש בנוסחת סכום הסדרה כדי לכתוב משוואות לסכום כל הסדרה ולסכום 12 האיברים הראשונים, ולאחר מכן
נוסחה
נבטא את סכום כל הסדרה ביחס לסכום 12 האיברים הראשונים לפי הנתון
S = (65/64) * S12S = (65)/(64) * S_12S = (65)/(64) x S_12
משוואה
נציב בנוסחאות ונפשט כדי לקבל משוואה ב-Q בלבד
נציב בנוסחאות ונפשט כדי לקבל משוואה ב-Q בלבד
פישוט
נחשב את ערך Q על ידי הוצאת שורש מסדר 12 ל-64
נחשב את ערך Q על ידי הוצאת שורש מסדר 12 ל-64
Q = 64^(1/12)Q = 64^((1)/(12))

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

הגדרת הפרמטרים

מה עושים

נסמן את מספר האיברים כ-n=24 ואת המנה כ-Q

למה

חשוב להגדיר את המשתנים לצורך המשוואות

מספר איברי הסדרה והמנה

זיהוי נתונים

הגדרת סכומי הסדרה

מה עושים

נסמן את סכום כל הסדרה כסכום N האיברים הראשונים כסכום 12 האיברים הראשונים

למה

הבנת משתני סכום משנה את גישת הפתרון

יחס בין סכומים

בחירת שיטה

שימוש בנוסחת סכום סדרה הנדסית

מה עושים

נכתוב את סכום הסדרה כ-S = A1 * (Q^n - 1)/(Q - 1)

למה

נוסחה זו מאפשרת חישוב סכום כל הסדרה בנוסחה פשוטה

נוסחת סכום סדרה הנדסית

נוסחה / הצבה

S = A1 * (Q^n - 1) / (Q - 1)S = A_1 (Q^n - 1)/(Q - 1)

בניית משוואה

כתיבת משוואת יחס הסכומים

מה עושים

נבטא את סכום כל הסדרה ביחס לסכום 12 האיברים הראשונים לפי הנתון

למה

יצירת מערכת משוואות לפתירת Q

לפי נתון הבעיה נרשום את היחס

נוסחה / הצבה

S = (65/64) * S12S = (65)/(64) * S_12S = (65)/(64) x S_12

פתרון

מציאת משוואה לפרמטר Q

מה עושים

נציב בנוסחאות ונפשט כדי לקבל משוואה ב-Q בלבד

למה

פישוט יוביל למציאת Q

פישוט ובנייה של משוואה אלגברית

יש להשתמש בנוסחאות הסכום ולהזיז משתנים כדי לבודד Q

פתרון

הוצאת שורש מסדר 12 ל-64

מה עושים

נחשב את ערך Q על ידי הוצאת שורש מסדר 12 ל-64

למה

זו הדרך לקבל את ערך Q לפי המשוואה הסופית

חישוב הערך המספרי של Q

נוסחה / הצבה

Q = 64^(1/12)Q = 64^((1)/(12))

ניתן להשתמש במחשבון מדעי

פתרונות כלליים

מצא את ערך המנה Q בסדרה: נסמן את סכום כל הסדרה S ונקרא ל-sum12 סכום 12 האיברים הראשונים. לפי הנתון S = (65/64) * sum12. סכום n איברים הוא A1*(Q^n -1)/(Q-1). לכן, מהנתון נקבל משוואה באיברי Q שניתן לפתור בהוצאת שורש מסדר 12.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב23. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא ערך המנה Q בסדרה

סדרה הנדסית בת 24 איברים

סכום כל הסדרה הוא פי 65/64 מסכום 12 האיברים הראשונים

A1 - האיבר הראשון בסדרה

הרעיון המרכזי

נבטא את סכום כל הסדרה ביחס לסכום 12 האיברים הראשונים לפי הנתון

נציב בנוסחאות ונפשט כדי לקבל משוואה ב-Q בלבד

נחשב את ערך Q על ידי הוצאת שורש מסדר 12 ל-64

פתרון מפורט

הגדרת הפרמטרים

הגדרת סכומי הסדרה

שימוש בנוסחת סכום סדרה הנדסית

כתיבת משוואת יחס הסכומים

מציאת משוואה לפרמטר Q

הוצאת שורש מסדר 12 ל-64

פתרונות כלליים