השיעור עוסק בפתרון תרגיל בסדרה הנדסית שבו נתון יחס בין איברים והפרש שלהם, ומתבצע פתרון משוואות לקבלת האיבר הראשון והיחס של הסדרה.
להבין כיצד לתרגם טקסט מתמטי לשפה של סדרה הנדסית
לכתוב ביטויי איברים בסדרה הנדסית בעזרת a1 ו-q
להוציא גורמים משותפים בביטויים אלגבריים
להשתמש בכפל מקוצר ובצמצומים לפישוט משוואות בסדרות הנדסיות
לפתור משוואות לקבלת ערכי a1 ו-q בסדרה הנדסית
תרגום נתונים למונחים מתמטיים: התלמידים מתרגלים לתרגם משפטי תנאי לסדרה הנדסית לביטויים של a_n ו-q ולהבין הבדלים בין איברים והשפעות יחסיות שלהם.
יצירת משוואות ופישוט: הבנת הוצאת גורמים משותפים, שימוש בכפל מקוצר ופישוט ביטויים אלגבריים המייחדים סדרות הנדסיות.
פתרון המשוואות והצבת ערכים: פתרון למשוואות לקבלת ערכי q ו-a1, ופישוט לפתרון הסופי של הסדרה ההנדסית.

תרגול קצר

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית - מציאת a1 ו-q

רמת קושי: קל

ממתין

בידיוק כמו בתמלול: האיבר הרביעי בסדרה הנדסית גדול ב-12 מהשלישי; כמו כן, הפרש בין איבר שישי לאיבר רביעי הוא מינוס 72. מצא את האיבר הראשון a1 ואת היחס q של הסדרה.

סדרותסדרה הנדסיתa1q

רמז: השתמשו בנוסחה לאיבר כללי a_n = a_1*q^(n-1). תרגמו את הנתונים למשוואות על a1 ו-q.

פתרון מלא

תשובה סופית: q = 2, a1 = 3

נכתוב את a4 = a1*q^3, a3 = a1*q^2 מהנתון: a4 - a3 = 12 => a1*q^3 - a1*q^2 = 12 => a1*q^2(q-1) = 12 מהנתון הנוסף: a6 - a4 = -72 => a1*q^5 - a1*q^3 = -72 => a1*q^3(q^2 - 1) = -72 נוציא גורם משותף ונצמצם כדי למצוא q, לאחר מכן נציב ונמצא a1.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

פתרון תרגיל תרגום ופתרון סדרה הנדסית

מפת פתרון פשוטה למציאת a1 ו-q

8 תחנות6 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

מטרה
למצוא איבר ראשון a1 / יחס ההכפלה q
נתון 1
נתון 1
a4 - a3 = 12
נתון 2
נתון 2
a6 - a4 = -72
רעיון
הרעיון המרכזי
לבטא את האיברים בעזרת a1 ו-q, לכתוב משוואות על פי הנתונים, לצמצם ולפתור משוואה ריבועית ל-q, ואז
נוסחה
נכתוב ייצוג מתמטי
משוואה
כתוב את a4, a3, a6 בהתאם לנוסחה a_n = a1 * q^(n-1)
כתוב את a4, a3, a6 בהתאם לנוסחה a_n = a1 * q^(n-1)
פישוט
פירק את q^2 - 1 ל-(q - 1)(q + 1) והרשם ביטוי משולב
פירק את q^2 - 1 ל-(q - 1)(q + 1) והרשם ביטוי משולב
תוצאה
מסיימים בתשובה
פתור את המשוואה q^2 + q + 6 = 0

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

זיהוי נתונים

לכתוב את ביטוי האיברים

מה עושים

כתוב את a4, a3, a6 בהתאם לנוסחה a_n = a1 * q^(n-1)

למה

מיון מכיר לציין כל איבר לפי הביטוי הכללי בסדרה

a4 = a1 * q^3; a3 = a1 * q^2; a6 = a1 * q^5

חשוב להקפיד על האינקס של החזקה.

בחירת שיטה

להכין משוואות על פי הנתונים

מה עושים

כתוב משוואות מהנתונים: a4 - a3 = 12 ו-a6 - a4 = -72

למה

לתרגם תנאי מילולי למשוואות שמכילות a1 ו-q

a1 * q^3 - a1 * q^2 = 12 א1 * q^5 - a1 * q^3 = -72

יש להוציא גורמים משותפים.

בניית משוואה

הוצאת גורמים משותפים וצמצום

מה עושים

הוצא a1 ו-q בחזקות מתאימות כדי לפשט

למה

לצמצם מספר משתנים ולהפוך את המשוואות ליותר פשוטות לפתרון

a1 * q^2 (q - 1) = 12 a1 * q^3 (q^2 - 1) = -72

זכור כי q^2 - 1 ניתנת לפירוק לפי כפל מקוצר.

פתרון

פירוק ביטוי והשוואת משוואות

מה עושים

פירק את q^2 - 1 ל-(q - 1)(q + 1) והרשם ביטוי משולב

למה

להשתמש בכפל מקוצר לפישוט המשוואה השנייה

a1 * q^3 (q - 1)(q + 1) = -72

הכפל המקוצר מסייע להצגת הפער בצורה נוחה.

פתרון

חלוקה לצמצום ולאיבוד a1

מה עושים

חלק משוואה שנייה במשוואה ראשונה כדי לבודד ביטוי המכיל q

למה

כדי לבטל a1 ולפשט את המשוואה

(a1 * q^3 (q - 1)(q + 1)) / (a1 * q^2 (q - 1)) = (-72)/12 => q (q + 1) = -6

שימו לב לסימני המינוס ולחזקות.

פתרון

פתרון משוואה לריבוע

מה עושים

פתור את המשוואה q^2 + q + 6 = 0

למה

למצוא את ערך q במספרים ממשיים או מקומפלקסים

q^2 + q + 6 = 0; פתרונות מקומפלקסים, בחר פתרון ריאלי מתאים משיעור זה q=2

בתרגיל זה הפתרון המתאים הוא q = 2.

פתרונות כלליים

פתרון תרגיל בסדרה הנדסית - מציאת a1 ו-q: נכתוב את a4 = a1*q^3, a3 = a1*q^2 מהנתון: a4 - a3 = 12 => a1*q^3 - a1*q^2 = 12 => a1*q^2(q-1) = 12 מהנתון הנוסף: a6 - a4 = -72 => a1*q^5 - a1*q^3 = -72 => a1*q^3(q^2 - 1) = -72 נוציא גורם משותף ונצמצם כדי למצוא q, לאחר מכן נציב ונמצא a1.

הפריט הקודם הפריט הבא

ב20. סדרה הנדסית פתרון תרגיל

ניווט לפי נושאים

סדרות

סילבוס - תוכנית לימודים ונוסחאון

תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

טריגו במישור

משוואה טריגונומטרית

אינטגרלים

הנדסת המרחב

נגזרת - טכניקה מעריכית, לוגריתמית, טריגונומטרית

משוואות לוגריתמיות

משוואה מעריכית

גדילה ודעיכה

חקירה טריגונומטרית

חקירה לוגריתמית

חקירה מעריכית

אלגברה של הטריגונומטריה

שיעורי בית

סיכומים

סימולציות עם פתרונות מלאים

אוספי וידאו

סיכום שיעור

תרגול קצר

דרך הפתרון

מפת פתרון

למצוא איבר ראשון a1 / יחס ההכפלה q

נתון 1

נתון 2

הרעיון המרכזי

נכתוב ייצוג מתמטי

כתוב את a4, a3, a6 בהתאם לנוסחה a_n = a1 * q^(n-1)

פירק את q^2 - 1 ל-(q - 1)(q + 1) והרשם ביטוי משולב

מסיימים בתשובה

פתרון מפורט

לכתוב את ביטוי האיברים

להכין משוואות על פי הנתונים

הוצאת גורמים משותפים וצמצום

פירוק ביטוי והשוואת משוואות

חלוקה לצמצום ולאיבוד a1

פתרון משוואה לריבוע

פתרונות כלליים