MMATH
התחברות

וידאו · תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון

א2. הבנת המחשבון ומערכת הצירים - חשוב ביותר

פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.

התקדמות בפריט0%
כניסה לשמירת התקדמותהפריט הבא
תוכן הקורס

תוכן הקורס

ניווט לפי נושאים

293 פריטים · 19 נושאים0%
וידאו

א1. הבנת המחשבון ומערכת הצירים - חשוב ביותר

וידאו

א2. הבנת המחשבון ומערכת הצירים - חשוב ביותר

וידאו

א3. הבנת המחשבון ומערכת הצירים - חשוב ביותר

וידאו

ב1. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

וידאו

ב2. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

וידאו

ב3. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

וידאו

ב4. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

וידאו

ב5. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

וידאו

ב6. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

וידאו

ב7. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

וידאו

ב8. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים

סיכום שיעור

  • השיעור עוסק בשימוש במחשבון לחקירת פונקציה, מציאת נקודות חיתוך עם הצירים, תחום הגדרה והבנת מגמות הפונקציה בסביבת נקודות קריטיות ובאינסוף.
  • להבין כיצד למצוא נקודות חיתוך של פונקציה עם ציר ה-X וציר ה-Y
  • להבין את חשיבות תחום ההגדרה וכיצד נקבע תחום ההגדרה מפונקציה עם מכנה
  • להשתמש במחשבון לחקירת ערכי הפונקציה ולזיהוי מגמות וטווחים
  • להבין ולהתמודד עם מושג האינסוף בציר המספרים בהקשר של פונקציה
  • חיתוך פונקציה עם צירי x ו-y: לימוד כיצד למצוא נקודות החיתוך של פונקציה עם הצירים על ידי הצבת x=0 ו-y=0 ומציאת הקואורדינטות המתאימות.
  • תחום הגדרה: הסבר על תחום הגדרה של פונקציות שבריות, הכולל חקירת המכנה והכללת אי-שוויונות למנע מחלוקה באפס.
  • חקירת פונקציה בעזרת מחשבון: תרגול הצבה של ערכי x שונים במחשבון, בקרבת נקודת אי-הגדרה ובתחום האינסוף, להבנת מגמת הפונקציה והשינויים בערך ה-y.

תרגול קצר

חיתוך פונקציה עם ציר ה-Y

רמת קושי: קל

ממתין

נתונה הפונקציה y = (x^2 - 2x) / (x - 1). מצא את נקודת החיתוך שלה עם ציר ה-Y.

חיתוך ציריםפונקציית שבר

רמז: הצבת x=0 בפונקציה תיתן את ערך y בנקודת החיתוך עם ציר ה-Y.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודת החיתוך עם ציר ה-Y היא (0, 0).

נציב x=0: y = (0 - 0) / (0 - 1) = 0/(-1) = 0. לכן נקודת החיתוך היא (0,0).

חיתוך פונקציה עם ציר ה-X

רמת קושי: בינוני

ממתין

לפי הפונקציה y = (x^2 - 2x) / (x - 1), מצא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X.

חיתוך ציריםפתרון משוואותפונקציית שבר

רמז: כדי למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה-X, שווים y לאפס ופתרו את המשוואה.

פתרון מלא

תשובה סופית: נקודות החיתוך עם ציר ה-X הן (0,0) ו-(2,0).

משווים y ל-0: (x^2 - 2x) / (x - 1) = 0 כאשר מכנה שונה מאפס, זו מתקבלת ל: x^2 - 2x = 0 נסדר ונ factor: x(x - 2) = 0 הפתרונות הם x=0 או x=2 תחום ההגדרה מונע x=1, לכן x=2 תקין. לכן נקודות החיתוך הן (0,0) ו-(2,0).

תחום הגדרה של הפונקציה

רמת קושי: מאתגר

ממתין

מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה y = (x^2 - 2x) / (x - 1).

תחום הגדרהפונקציית שבר

רמז: תחום ההגדרה הוא כל x עבורו המכנה אינו שווה לאפס.

פתרון מלא

תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא כל x ממשי חוץ מ-x=1.

תחום ההגדרה נקבע כך: m גדול מ- x - 1 ≠ 0 לפיכך: x ≠ 1 תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים למעט x=1.

חקר פונקציה סביב נקודת אי-הגדרה

רמת קושי: בגרות

ממתין

בהינתן הפונקציה y = (x^2 - 2x) / (x - 1), חקור את התנהגות הפונקציה כש-x מתקרב ל-1 מימין ומשמאל.

תחום הגדרהאי רציפותחקירת פונקציה

רמז: הציבו ערכים קרובים מימין ומשמאל ל-1 ובדקו את ערך הפונקציה.

פתרון מלא

תשובה סופית: הפונקציה שואפת לאינסוף חיובי משמאל ל-1 ולמינוס אינסוף מימין ל-1 (אי רציפות אנכית בנקודה זו).

תחום ההגדרה מונע x=1. נקיב ערכים סמוכים ל-1: מימין: 1.01, ערך y פי החישוב: ערך יקטן מאד ולכן y ילך למינוס אינסוף משמאל: 0.99, ערך y יגדל והפונקציה תתקרב לאינסוף חיובי. מסקנה: ישנה אי רציפות אנכית בנקודה x=1, כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף חיובי בצד שמאל ולמינוס אינסוף בצד ימין.

דרך הפתרון

נוצר אוטומטית

חישוב נקודות חיתוך של הפונקציה עם הצירים

דוגמה לפונקציה y = (x^2 - 2x) / (x - 1)

8 תחנות5 שלבי פירוט4 בדיקות

מפת פתרון

  1. מטרה

    למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה-X / נקודת חיתוך עם ציר ה-Y

  2. נתון 1

    נתון 1

    y = (x^2 - 2x) / (x - 1)
  3. רעיון

    הרעיון המרכזי

    נציב x=0 למציאת חיתוך ציר ה-Y, ונשווה y=0 לפונקציה למציאת חיתוך ציר ה-X.

  4. נוסחה

    הפונקציה נתונה כיחס של פולינומים

    y = (x^2 - 2x) / (x - 1)y = (x^2 - 2x)/(x - 1)
  5. משוואה

    פקטוריזציה של x^2 - 2x ל-x(x-2)

    פקטוריזציה של x^2 - 2x ל-x(x-2)

    x(x-2) = 0 => x = 0 או x = 2x(x-2) = 0 => x = 0 \או \x = 2
  6. פישוט

    משווים y=0 ופותרים עבור x

    משווים y=0 ופותרים עבור x

    (x^2 - 2x) / (x - 1) = 0 => x^2 - 2x = 0(x^2 - 2x)/(x - 1) = 0 => x^2 - 2x = 0
  7. תוצאה

    מסיימים בתשובה

    נקודות חיתוך הן (0,0) ו-(2,0) וציר ה-Y ב-(0,0)

  8. בדיקה

    בדיקה קצרה

    • הבין כי חיתוך עם ציר ה-Y מתקבל מ-x=0
    • הצטיינות בהבנה שחיתוך עם ציר ה-X מתקבל מ-y=0 ופתרון המונה
    • זהירות: להעתיק את המכנה כאשר משווים y לאפס בטעות

פתרון מפורט

השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.

1

זיהוי נתונים

הגדרת הפונקציה

מה עושים

הפונקציה נתונה כיחס של פולינומים

למה

לפי הביטוי ניתן לבדוק חיתוכים ותחום הגדרה

y = (x^2 - 2x) חלקי (x - 1)

נוסחה / הצבה

y = (x^2 - 2x) / (x - 1)y = (x^2 - 2x)/(x - 1)
2

בחירת שיטה

מציאת חיתוך עם ציר ה-Y

מה עושים

נציב x=0 ונחשב y

למה

כי בציר ה-Y, x=0 תמיד

y = (0 - 0)/(0 - 1) = 0

נוסחה / הצבה

y = (0 - 0) / (0 - 1) = 0y = (0^2 - 2*0) / (0 - 1) = 0/(-1) = 0y = (0 - 0)/(0 - 1) = 0

נציב ישירות x=0

3

בחירת שיטה

מציאת חיתוך עם ציר ה-X

מה עושים

משווים y=0 ופותרים עבור x

למה

נרצה למצוא את ערכי x בהן הפונקציה מתאפסת על הציר

0 = (x^2 - 2x) / (x - 1)

נוסחה / הצבה

(x^2 - 2x) / (x - 1) = 0 => x^2 - 2x = 0(x^2 - 2x)/(x - 1) = 0 => x^2 - 2x = 0

משווים את המונה לאפס משום שהמכנה לא יכול להיות אפס

4

פתרון

פתרון המשוואה

מה עושים

פקטוריזציה של x^2 - 2x ל-x(x-2)

למה

כדי למצוא ערכי x שבם הפונקציה מתאפסת

x(x-2) = 0, לכן x=0 או x=2

נוסחה / הצבה

x(x-2) = 0 => x = 0 או x = 2x(x-2) = 0 => x = 0 \או \x = 2

חריג x=1 אינו בתחום הגדרה, ולכן לא מתחשב כאן

5

תשובה

סיכום נקודות החיתוך

מה עושים

נקודות חיתוך הן (0,0) ו-(2,0) וציר ה-Y ב-(0,0)

למה

קיבלנו את מיקומי הקואורדינטות המשמעותיות עבור הפונקציה

נקודת חיתוך עם ציר ה-Y: (0,0) נקודות חיתוך עם ציר ה-X: (0,0) ו-(2,0)

פתרונות כלליים

  • חיתוך פונקציה עם ציר ה-Y: נציב x=0: y = (0 - 0) / (0 - 1) = 0/(-1) = 0. לכן נקודת החיתוך היא (0,0).
  • חיתוך פונקציה עם ציר ה-X: משווים y ל-0: (x^2 - 2x) / (x - 1) = 0 כאשר מכנה שונה מאפס, זו מתקבלת ל: x^2 - 2x = 0 נסדר ונ factor: x(x - 2) = 0 הפתרונות הם x=0 או x=2 תחום ההגדרה מונע x=1, לכן x=2 תקין. לכן נקודות החיתוך הן (0,0) ו-(2,0).
  • תחום הגדרה של הפונקציה: תחום ההגדרה נקבע כך: m גדול מ- x - 1 ≠ 0 לפיכך: x ≠ 1 תחום ההגדרה הוא כל המספרים הממשיים למעט x=1.
  • חקר פונקציה סביב נקודת אי-הגדרה: תחום ההגדרה מונע x=1. נקיב ערכים סמוכים ל-1: מימין: 1.01, ערך y פי החישוב: ערך יקטן מאד ולכן y ילך למינוס אינסוף משמאל: 0.99, ערך y יגדל והפונקציה תתקרב לאינסוף חיובי. מסקנה: ישנה אי רציפות אנכית בנקודה x=1, כאשר הפונקציה שואפת לאינסוף חיובי בצד שמאל ולמינוס אינסוף בצד ימין.
הפריט הקודםהפריט הבא
ניתן להזיז את הכפתור בגרירה או באמצעות Alt ומקשי החצים.