וידאו · תחומי הגדרה, מערכת הצירים והצבות במחשבון
ב8. תחום הגדרה ומשמעותו על מערכת הצירים
פריט מסוג וידאו עם סיכום ותרגול צמודים.
תוכן הקורס
תוכן הקורס
ניווט לפי נושאים
סיכום שיעור
- שיעור המציג את מושג תחום ההגדרה של פונקציה ומנתח את משמעותו בהקשר של מערכת הצירים תוך בחינת התנהגות הפונקציה סביב ערכים קריטיים וגבולות.
- להבין מהו תחום ההגדרה של פונקציה
- לזהות חיתוך עם צירי x ו-y
- לנתח שאיפות של פונקציה לערכי קצה
- להשתמש בהצבות במחשבון לצורך חקר פונקציה
- לפרש את המשמעות של תחום ההגדרה במערכת הצירים
- תחום הגדרה: הגדרה של תחום ההגדרה כפונקציה מוגדרת ומותנית על ערכים מסוימים, לדוגמה x>0 ושונה מ-0.
- חיתוך פונקציה עם צירי x ו-y: במהלך הניתוח יש לבדוק מתי הפונקציה חותכת את צירי הצירים ומה משמעות החיתוך.
- שאיפות של פונקציה: בחינת התנהגות הפונקציה כאשר x שואף לערכים קריטיים או אין-סוף, ופרשנות המידע.
תרגול קצר
לזהות את תחום ההגדרה בפונקציה
רמת קושי: קל
נתונה פונקציה f(x) המוגדרת על ידי הביטוי (1 + lan(αx)) / (αx). מהו תחום ההגדרה של f(x)?
רמז: בדוק היכן הביטוי במכנה שווה ל-0 או לא מוגדר.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה הוא x > 0
הביטוי במכנה הוא αx. כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת יש ש-αx ≠ 0 כלומר x ≠ 0. בנוסף אם חלק מהלוגריתם מוגדר רק ל-x > 0, יש להשאיר x > 0.
חישוב חיתוך עם ציר y
רמת קושי: בינוני
לפי הפונקציה f(x) = (1 + lan(αx)) / (αx), האם קיימת נקודת חיתוך עם ציר y? נמק.
רמז: חיתוך עם ציר y מתקבל כאשר x=0 נכלל בתחום ההגדרה.
פתרון מלא
תשובה סופית: אין חיתוך עם ציר y
בהגדרת הפונקציה, x=0 אינו בתחום ההגדרה כיוון שהמכנה שווה ל-0, ולכן אין חיתוך עם ציר y.
ניתוח שאיפות הפונקציה
רמת קושי: מאתגר
נתונה הפונקציה f(x) = (1 + lan(αx)) / (αx) בתחום ההגדרה x > 0. מהי מגמת הפונקציה כאשר x שואף לאינסוף ול-0+?
רמז: השתמש בהצבות ערכים גדולים וקטנים במחשבון או בניתוח מפורש של ביטוי הפונקציה.
פתרון מלא
תשובה סופית: f(x) שואף ל-0 כאשר x → ∞, הפונקציה לא מוגדרת ב-0, ויש לבחון את ההתנהגות הקרובה ל-0+ בנפרד.
כאשר x → ∞: ברוב המקרים הביטוי lan(αx) מתרחק במהירות, ולכן השבר שואף ל-0 במעט מעל. כיוון שקיימת שאיפה ל-0 ממעלה. כאשר x → 0+ יש לבדוק התייחסות זהירה מפני שהמכנה שואף לאפס, אלא שהפונקציה לא מוגדרת ב-0, והערכים שקרובים ל-0+ מראים שהפונקציה גדלה או יורדת בהתאם לערך lan(αx).
בחן את תחום ההגדרה והחיתוכים של הפונקציה
רמת קושי: בגרות
בהינתן פונקציה f(x) = (1 + lan(αx)) / (αx), מצא את תחום ההגדרה, האם קיימים חיתוכים עם הצירים ומה המשמעות של השאיפות ל-0 ולאינסוף.
רמז: בדוק איפה המונה והמכנה מוגדרים, הצב ערכים קריטיים, ונתח מגמות.
פתרון מלא
תשובה סופית: תחום ההגדרה x > 0; אין חיתוך עם ציר y; השאיפה לאינסוף היא ל-0; יש לבחון את ההתקרבות ל-0+ בקפידה.
תחום ההגדרה הוא x > 0. אין חיתוך עם ציר y כי x=0 לא בתחום. חיתוך עם ציר x יתקיים אם ניתן לפתור שווה ל-0 בתחום זה. השאיפות: כאשר x שואף ל-0+ יש לנתח את הביטוי שלא מוגדר ב-0 אך מתקרב אליו, ולקבל את מגמת הפונקציה. כאשר x שואף לאינסוף, הפונקציה שואפת ל-0. ניתן להשתמש במחשבון להצבות ערכים להמחשה.
דרך הפתרון
ניסיון להבין תחום ההגדרה והשאיפות של פונקציה
מפת פתרון בסיסית לניתוח פונקציה ומגמותיה
מפת פתרון
- מטרה
למצוא תחום ההגדרה / חיתוך עם צירי x, y / שאיפות לערכי קצה
- נתון 1
נתון 1
פונקציה y = (1 + lan(αx)) / (αx) - נתון 2
לונג x בתחום חיובי בלבד
- רעיון
הרעיון המרכזי
לזהות איפה הפונקציה מוגדרת, לבדוק חיתוכים ולהעריך את ההתנהגות בקצוות באמצעות הצבות
- נוסחה
להציב x=0 ולבדוק אם נמצא בתחום ההגדרה
x = 0 - משוואה
לפתור y=0 תוך שמירה על תחום ההגדרה
לפתור y=0 תוך שמירה על תחום ההגדרה
(1 + lan(αx)) / (αx) = 0 - פישוט
להחליף ערכים גדולים של x ולבחון את התוצאה
להחליף ערכים גדולים של x ולבחון את התוצאה
x → ∞ ⇒ y → 0+ - תוצאה
מסיימים בתשובה
להחליף ערכים קטנים חיוביים של x קרובים ל-0
x → 0+F(x) לא מוגדר יש לבדוק בצעדים קטנים
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
פתרון מפורט
השלבים המקוריים זמינים כאן למי שרוצה להעמיק בחישוב.
1זיהוי נתונים
קבלת נתוני הפונקציה
זיהוי נתונים
קבלת נתוני הפונקציה
מה עושים
נתונה הפונקציה y = (1 + lan(αx)) / (αx) עם α קבוע
למה
להבין את הפונקציה שעליה מתבצע הניתוח
2בחירת שיטה
קביעת תחום ההגדרה
בחירת שיטה
קביעת תחום ההגדרה
מה עושים
לבדוק איפה המונה והמכנה מוגדרים ומותרים
למה
הפונקציה מוגדרת רק כשהמכנה שונה מ-0 והלוגריתם מוגדר
נוסחה / הצבה
x > 0αx ≠ 0לכן x > 0שים לב שהמכנה לא יכול להיות 0
3בניית משוואה
בדיקת חיתוך עם ציר y
בניית משוואה
בדיקת חיתוך עם ציר y
מה עושים
להציב x=0 ולבדוק אם נמצא בתחום ההגדרה
למה
חיתוך עם ציר y מתרחש ב-x=0
נוסחה / הצבה
x = 0x=0 לא בתחום, אין חיתוך
4בניית משוואה
בדיקת חיתוך עם ציר x
בניית משוואה
בדיקת חיתוך עם ציר x
מה עושים
לפתור y=0 תוך שמירה על תחום ההגדרה
למה
חיתוך עם ציר x מתקבל איפה ש-y=0
נוסחה / הצבה
(1 + lan(αx)) / (αx) = 0יש לבדוק פתרונות בתחום x > 0
5פתרון
בדיקת שאיפות לאינסוף
פתרון
בדיקת שאיפות לאינסוף
מה עושים
להחליף ערכים גדולים של x ולבחון את התוצאה
למה
לדעת את מגמת הפונקציה בקצה הצירים
נוסחה / הצבה
x → ∞ ⇒ y → 0+ניתן להשתמש במחשבון להצבות
6פתרון
בדיקת שאיפות ל-0+
פתרון
בדיקת שאיפות ל-0+
מה עושים
להחליף ערכים קטנים חיוביים של x קרובים ל-0
למה
להבין התקרבות לערך שאליו הפונקציה שואפת
נוסחה / הצבה
x → 0+F(x) לא מוגדר יש לבדוק בצעדים קטניםניתן להשתמש בערכי שכנות למספרים קטנים מאוד
פתרונות כלליים
- לזהות את תחום ההגדרה בפונקציה: הביטוי במכנה הוא αx. כדי שהפונקציה תהיה מוגדרת יש ש-αx ≠ 0 כלומר x ≠ 0. בנוסף אם חלק מהלוגריתם מוגדר רק ל-x > 0, יש להשאיר x > 0.
- חישוב חיתוך עם ציר y: בהגדרת הפונקציה, x=0 אינו בתחום ההגדרה כיוון שהמכנה שווה ל-0, ולכן אין חיתוך עם ציר y.
- ניתוח שאיפות הפונקציה: כאשר x → ∞: ברוב המקרים הביטוי lan(αx) מתרחק במהירות, ולכן השבר שואף ל-0 במעט מעל. כיוון שקיימת שאיפה ל-0 ממעלה. כאשר x → 0+ יש לבדוק התייחסות זהירה מפני שהמכנה שואף לאפס, אלא שהפונקציה לא מוגדרת ב-0, והערכים שקרובים ל-0+ מראים שהפונקציה גדלה או יורדת בהתאם לערך lan(αx).
- בחן את תחום ההגדרה והחיתוכים של הפונקציה: תחום ההגדרה הוא x > 0. אין חיתוך עם ציר y כי x=0 לא בתחום. חיתוך עם ציר x יתקיים אם ניתן לפתור שווה ל-0 בתחום זה. השאיפות: כאשר x שואף ל-0+ יש לנתח את הביטוי שלא מוגדר ב-0 אך מתקרב אליו, ולקבל את מגמת הפונקציה. כאשר x שואף לאינסוף, הפונקציה שואפת ל-0. ניתן להשתמש במחשבון להצבות ערכים להמחשה.